2014年大连市高三第一次模拟考试

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

15.

16.

三．解答题

17． 解：

（Ⅰ）设
公差为
，

所以

解得
………………4分

所以
………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

+
①

①
得

②……8分

①-②得

， ………………10分

整理得
． ………………12分

18.解：

（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为0.1，在[15,20) 频率为0.2，[20,25)之间的频率为0.3，

在[30,35)频率为0.15，

所以在[25,30)上的频率为0.25 ，

所以样本中二等品的频率为0.45，

所以该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率0.45． ………………4分

（Ⅱ）因为一等品6件，

所以在[10,15)上2件，在[30,35)上3件， ………………6分

令[10,15)上2件为
，
，在[30,35)上3件
，
，
，

所以一切可能的结果组成的基本事件空间

{（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
）……}由25个基本事件组成．

恰有1件的长度在区间[30,35)上的基本事件有12个 …………10分

所以取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率
． ………………12分

19.证明：

（Ⅰ）取
中点,连接

因为为
中点，所以
,因为
,

所以
,所以
为平行四边形，

所以
………………4分

因为
平面
,
平面
,

所以
平面
． ………………6分

（Ⅱ）取
中点
，
中点
，连接
，
,

∵
，
中点
，

∴
,

∵
是等腰直角三角形，
是
中点，

∴
，
∥
。∵
,
,∴
，………10分

，
平面
，
平面
，

∴
平面
。
平面
，∴
。

∵
平面
，
平面
，
和
相交，

∴
平面
． ………………12分

20. 解：

（Ⅰ）
的焦点为
，设
，
，
的中点
。

的方程为：
。

联立方程组
化简得：
，得
。

，
，

中点的轨迹方程：
。 ………………4分

（Ⅱ）设
，则直线
的方程为：
，

当
时，
。即
点横坐标为
，

同理可得
点横坐标为
。 ………………8分

所以
=
=
… …12分

21.（Ⅰ）证明：

，则
，设
，则
， …………………………2分

当
时，
，即
为增函数，所以
，

即
在
时为增函数，所以
…………………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
时，
，
，所以
， …………………………8分

设
，则
，设
，则
，

当
时
，所以
为增函数，所以
，所以
为增函数，所以
，所以
对任意的
恒成立. ………………………10分

又
，
时，
，所以
时
对任意的
恒成立. ………………………12分

22．（Ⅰ）证明：连接
，∵
，

∴
，又∵
，

∴△
∽△
，∴
，

∵
，
，又∵
是⊙
的直径，

∴
,
，

∴
是⊙
的切线。 ………………5分

（Ⅱ）解：∵
、
是⊙
的切线，∴
，∴
，∴
，

∵
，∴△
∽△
，∴
，
，

∴⊙
的半径为2. ………………10分

23. 解：

（Ⅰ）由
的参数方程消去参数得普通方程为

圆
的直角坐标方程
,

所以圆心的直角坐标为
，

所以圆心的一个极坐标为
………………5分

(答案不唯一，只要符合要求的都给分)

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知
到直线
的距离

所以
………………10分

24. 解：

（Ⅰ）由题可得

所以
因为
，