延庆县2013—2014学年度高考模拟检测试卷

高三数学（文科） 2014.3

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2. 复数
在复平面上所对应的点
位于

A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限

3. 设
是等差数列
的前
项和，已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

4. 执行右边的程序框图，则输出的
值等于

A.

B.

C.

D.

5. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数是

A.
B.
C.
D.

6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体

的体积是

A.
B.

C.
D.

7. 正三角形
中，
是边
上的点，若
，则
=

A.
B．
C．
D．

8. 对于函数
，下列结论正确的一个是

A.
有极小值，且极小值点

B.
有极大值，且极大值点

C.
有极小值，且极小值点

D.
有极大值，且极大值点

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.

9. 设
是常数，若点
是双曲线
的一个焦点，则
= .

10．圆
的圆心坐标为 ；直线
：

与圆
位置关系是 .

11. 在相距
千米的
两点处测量目标
，若
，则
两点之间的距离是 千米.

12. 某单位
名职工的年龄分布情况如图，现要

从中抽取
名职工作为样本.用系统抽样的

方法将全体职工随机按
～
编号，并按编号

顺序分为
组（
～
号，
～
号，，，，，
～
号），若第
组抽出的号码为
，则第
组抽出的号码应是 ，若改用分层抽样的方法，则
岁以下年龄段应抽取 人.

13. 若
为不等式组
表示的平面区域，则当
的值从
连续变化到
时，动直线
扫过的
中的那部分区域的面积为 .

14. 已知条件

不是等边三角形，给出下列条件：

①
的三个内角不全是
②
的三个内角全不是

③
至多有一个内角为
④
至少有两个内角不为

则其中是
的充要条件的是 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值域和最小正周期；

（Ⅱ）设
，且
，求
的值．

16.（本小题满分13分）

如图，已知直三棱柱
中，
，

为
的中点，
.

(Ⅰ) 求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
.

17. （本小题满分13分）

对甲、乙两名篮球运动员分别在
场比赛中的得

分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，

列出乙的得分统计表如下：

(Ⅰ)估计甲在一场比赛中得分不低于
分的概率；

（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）

（Ⅲ）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.

18. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

(Ⅰ) 求
的单调区间；

（Ⅱ）曲线
与
轴有且只有一个公共点，求
的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知直线
经过椭圆
的左顶点
和上顶点
，椭圆
的右顶点为
，点
是椭圆上位于

轴上方的动点，直线
,
与直线
分别

交于
两点.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）(ⅰ) 设直线
,
的斜率分别为
，求证
为定值；

(ⅱ)求线段
的长度的最小值.

20. （本小题满分14分）

在直角坐标系平面中，已知点
，
，
，…，
，其中
是正整数，对于平面上任意一点
，记
为
关于点
的对称点 ，
为
关于点
的对称点 ，…,
为
关于点
的对称点 .

(Ⅰ)求向量
的坐标；

(Ⅱ)当点
在曲线
上移动时，点
的轨迹是函数
的图像，其中
是以
为周期的周期函数，且当
时，
，求以曲线
为图像的函数在
上的解析式；

(Ⅲ)对任意偶数
，用
表示向量
的坐标.

延庆县2013—2014学年度一模统一考试

高三数学（文科答案） 2014年3月

一、选择题：

D B C C A A B C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.
； 10.
，相离； 11.
； 12.
； 13.
； 14.①③④ .

三、解答题：

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
， …………4分

…………6分

的值域为
， 最小正周期为
.……8分

（Ⅱ）
，即：
…………9分

即：

∵
，
…………11分

，
…………13分

16.（本小题满分13分）

(Ⅰ)证明：连接
与
相交于
，连

∵
是正方形, ∴
, 又∵
为
的中点，

∴
， ………3分

∵
平面
,
平面
,

∴
平面
………6分

（Ⅱ）连接
,∵
是正方形, ∴
, ………7分

∵
, 且
， ∴
平面
, ………9分

∴

, ………10分

∵
与
相交, ∴
平面
, ………12分

∴
. ………13分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
………3分

（Ⅱ）甲更稳定， ………6分

(Ⅲ)因为组距为
，所以甲在区间

上得分频率值分别为
,
，
，
………8分

设甲的平均得分为

则
， ………12分

， ………13分

18. （本小题满分13分）

解： (Ⅰ)
， ………1分

(1) 当
时，
恒成立，此时
在
上是增函数，…2分

（2）当
时，令
，得
；

令
，得
或

令
，得

∴
在
和
上是增函数，

在
上是减函数. ………5 分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

（1）当
时，
在区间
单调递增，所以题设成立………6 分

（2）当
时，
在
处达到极大值，在
处达到极小值，

此时题设成立等价条件是
或
，

即：
或

即：
或
………11 分

解得：
………12 分

由（1）（2）可知
的取值范围是
. ………13分

19. （本小题满分14分）

解：(Ⅰ).椭圆
的方程为
. ………3分

（Ⅱ）(ⅰ)设点
的坐标为
，

∴

………5分

∵点
在椭圆上，∴
，∴

∴
………7分

(ⅱ) 设直线
的方程为
，

则
且
………9分

∵

∴ 直线
的方程为