2014年葫芦岛市高三第一次模拟考试

数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一.选择题:每小题5分,总计60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

B

B

C

C

D

D

A

A

D



二.填空题:每小题5分,总计20分.

13. 24

14. 



15. 

16. 2



三.解答题:

17.解：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由S3+S4=S5,a7=5a2+2得： 2a1-d=0,4a1-d-2=0

解得:a1=1,d=2

因此:an=2n-1(n∈N*) ……………………………4分

(Ⅱ)令cn=anbn=(2n-1)()n-1.则Tn=c1+c2+…+cn

∴
①

② ---------------------6分

①—②,得

---------------10分

所以
--------12分

18.(本小题满分12分)

（Ⅰ）证明：因为四边形
是菱形，

所以
. ……………… 1分

因为平面
平面
，且四边形
是矩形，

所以
平面
， ……………… 2分

又因为
平面
，

所以
. ……………… 3分

因为
，

所以
平面
. ……………… 4分

（Ⅱ）解：设
，取
的中点
，连接
，

因为四边形
是矩形，
分别为
的中点，

所以
，

又因为
平面
，所以
平面
，

由
，得
两两垂直.

所以以
为原点，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间

直角坐标系. ……………… 5分

因为底面
是边长为2的菱形，
，
，

所以
，
，
，
，

，
，
. ………………6分

因为
平面
，

所以平面
的法向量
. …………7分

设直线
与平面
所成角为，

由
，

得

，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得
，
.

设平面
的法向量为
，

所以
………………10分

即

令
，得
. ………………11分

由
平面
，得平面
的法向量为
，

则
. …………13分

由图可知二面角
为锐角，

所以二面角
的大小为
. ………………14分

19．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件， ……………………………1分

P(A)= =………………………………………4分

（Ⅱ）依据条件，X服从超几何分布：其中N=10，M=3，n=3，X的可能值为0,1,2,3，其分布列为：P(X=k)= (k=0,1,2,3)…………………………6分

X

0

1

2

3



P











……………………8分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=，

一年中空气质量达到一级或二级的天数为Y，则Y~B(366,0.7) …………………10分

∴EY=366×0.7≈256

∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 ………………………12分

20．（本题满分12分）

解：（1）当l过椭圆的焦点且与x轴垂直时，截得的弦为椭圆的通径，∴=3

又∵c=1

∴b2=3 a2=4

∴椭圆C的方程为：+=1………………………………………………………4分

（2）当直线l与x轴垂直时，直线l即为y轴，此时A(0,-)、B(0,)

|PA|=3-,|PB|=3+ 由题意：=+ 解得：|PC|=

∴C（0，-3）

(2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3.

与椭圆方程+=1联立并消元整理得：（4k2+3)x2-24kx+24=0 ………………①

Δ=(24k)2-4(4k2+3)×24=96(2k2-3)>0 ∴k2>

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2=,x1x2=

|PA|2=x12+(y1+3)2=x12+(kx1-3+3)2=(1+k2)x12

|PB|2=x22+(y2+3)2=x22+(kx2-3+3)2=(1+k2)x22

|PC|2=x2+(y+3)2=x2+(kx-3+3)2=(1+k2)x2

由题意：=+

∴=+

即=+===

∴x2=

又∵点C在直线上，∴y=kx-3 k= 代入上式并化简得：8（y+3)2-3x2=24

即-=1

∵k2> ∴0

又C（0，-3）满足-=1，故x∈(-,).

由题意，C(x,y)在椭圆C内部，所以-≤y≤，

又由8（y+3)2=24+3x2有(y+3)2∈(3,4) 且-≤y≤ ∴y∈(-3,-1)

所以点C的轨迹方程是-=1，

其中，x∈(-,)，y∈(-3,-1)………12分

(如考生未考虑l与x轴垂直，扣1分；求轨迹方程后没有求得x,y取值范围的扣1分）

21. （本题满分12分）

（1）f((x)=ln(1+x)+1 令f((x)=0得：x=-1 ∴当x∈(-1,-1)时，f((x)<0,f(x)在(-1,-1)上单调递减，同理，(x)在(-1，+∞)上单调递增；∴当x=-1时，f极小=-；又x∈(-1, -1)时,f(x)<0 ∴f(x)的图象如右：

①当a<-时，方程无解；

②当a=-或a≥0时，方程有一解；

③当-

（2）令((x)=f(x)-g(x)=(1+x)ln(1+x)-kx2-x

则(((x)=ln(1+x)-2kx 令h(x)= ln(1+x)-2kx 则h((x)=-2k

∵x≥0 ∴∈(0,1]

①当k≥时，2k≥1 h((x)=-2k≤0 ∴h(x)在[0，+∞）上单调递减

∴h(x)≤h(0) =0 即(((x)≤0 ∴((x)在[0，+∞）上单调递减

∴((x)≤((0)=0 ∴f(x)≤g(x) ∴当k≥时满足题意；

②当k≤0时，h((x)=-2k>0 ∴h(x)在[0，+∞）上单调递增

∴h(x)≥h(0)=0 即(((x)≥0 ∴((x)在[0，+∞）上单调递增

∴((x)≥((0)=0 ∴f(x)≥g(x) ∴当k≤0时不合题意；

③当00,当x∈(0,)时，h(x)单调递增，

∴h(x)>0 即(((x)>0 ∴((x)在(0,)上单调递增 ∴((x)>0

即f(x)>g(x) ∴不合题意

综上，k的取值范围是[,+∞)

(3)由（2）知（取k=):(1+x)ln(1+x)≤x2+x;

变形得：ln(1+x)≤==((1+x)-

取x=n-1 得:lnn≤(n-) 即：+2lnn≤n

∴+2ln1≤1

+2ln2≤2

+2ln3≤3

…

+2lnn≤n

以上各式相加得：（+++…+）+2（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≤1+2+…+n

即：Sn+2lnn!≥

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解 (1)连结
，则
，又
，

则
，即
，

则、、、
四点共圆. ……………5分

(2)由直角三角形的射影原理可知
，

由
与
相似可知：
，

，
，

则
，即
.……………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设，对应的参数分别为
，则
． ……3分

所以
． ……5分

(Ⅱ)易得点在平面直角坐标系下的坐标为
，根据中点坐标的性质可得
中点
对应的参数为
． ……8分

所以由的几何意义可得点到
的距离为

． ……10分

24. 解：（Ⅰ）原不等式等价于

或
………3分

解，得

即不等式的解集为
　………5分

（Ⅱ）
…………8分

。 　　　　　……………10分