2013.12.16

一、选择题：（
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若复数
的值为

A．i B．1 C．-1 D．-i

2. 若
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

3. 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为

A.－6 B.－4 C. －2 D. 0

4. 由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是

A．72 B．60 C．48 D．12

5.若圆
与直线
相离，则实数
的取值范围是

A.
>8或
<－2 B.－2<
<8

C.
>0或
<－10 D.－1
0<
<0

6.已知各项均不为零的数列
，定义向量
，下列命题中真命题是

A．若
总有
成立，则数列
是等差数列

B．若
总有
成立，则数列
是等比数列

C．若
总有
成立，则数列
是等差数列

B．若
总有
成立，则数列
是等比数列

7.已知椭圆
，对于任意实数
，下列直线被椭圆E截得的弦长与
被椭圆E截得的弦长不可能相等的是[来源:学,科,网]

A．
B．

C．
D．

8.若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足
(
)，则P点的轨迹一
定过△ABC的

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

9.已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
.若
是
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率是

A．
B．
C．
D．

10.锐角三角形ABC中，若
，则下列叙述正确的是

①
; ②
; ③
; ④
.

A．①② B．②③ C．③④ D．④①

二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上.

11.设
的展开式中各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，如A+B=272，则展开式中含
项的系数为 .

12.已知函数
，给出下面四个命题：①
的最大值为
；②
的最小值为
；③
在
上是减函数；④
在
]上是减函数.其中真命题的序号是 ．

13. 如果有穷数列
满足条件
，即
，我们称其为“对称数列”. 设
是项数为7的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
，依次写出
的每一项______.

14. 若函数
满足
，且
时，
是偶函数，且
，
，则函数
图像与函数
图像的交点个数为 .

15. 如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是
.利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的双曲线，若其中经过点
M、N、P的双曲线的离心率分别记为
，则它们的大小关系是 ________ （用“<”连接）. [来源:学&科&网]

三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）[来源:Z,xx,k.Com]

已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
与
之间有关系|k
+
|=
|
－k
|，(k≥2).

（1）用k表示
·
;

（2）求
·
的最小值，并求此时
·
的夹角的余弦值.

17. （本小题满分13分）

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝
x3－
x2＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10．

18.（本小题满分13分）

设函数

(Ⅰ)求
在
上的值域；

(Ⅱ)记
的内角A，B，C的对边分别为
，若
的值
.

19.（本小题满分13分）

已知函数
的图像过点
，且
对任意实数都成立，函数
与
的图像关于原点对称.

(Ⅰ)求
与
的解析式；

(Ⅱ)若
在[-2，0]上是增函数，求实数λ的取值范围.

20.（本小题满分14分）

设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a7＝－2，S5＝30．

(Ⅰ) 求a1及d；

(Ⅱ) 若数列{bn}满足an＝
(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式，并bn的最大值．

21. （本小题满分14分）

已知直线l1：x＝my与抛物线C：y2＝4x交于O (坐标原点)，A两点，直

[来源:学科网]

福州八中2013—2014高三毕业班第四次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

三、解答题：

16. （本小题满分13分）解：（1）要求用k表示a·b，而已知|ka+b|=
|a－kb|，故采用两边平方，得

|ka+b|2=(
|a－kb|)2

k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)

∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2

a·b =
…………………………3分

∵a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，

∴a
2=1， b2=1，…………………………………………4分

∴a·b =
=
………………………………6分

（2）∵当k≥2时，函数
为增函数

∴a·b的最小值为
，…………………………………………9分

又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1

∴
=1×1×cos ………………………11分

∴cos=
，此时a与b的夹角余弦值为
. ……………………13分

所以，f (x)的极小值为f (2)＝
．………………………………………………6分

(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．…………………………7分

由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)， ……………………8分

所以
，

即b＝－2(a＋1)． …………………………………………10分

又因为1＜a≤2，

所以，g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2) ＝－3b－8＝6a－2≤10．

故g(x)的极大值小于等于10． …………………………13分

18. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)

. ………………………………4分

，
，

，即
在
的值域为
. ………6分

(Ⅱ)由（I）可知，
，

， …………………….7分

，
，

.

……………………9分

， ……………………11分

把
代入，得到
，

或
. ……………………13分

19.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：m=2，n=0，

∴
………………………………2分

设函数
图象上的任意一点
关于原点的对称点为P(x，y), 则
，……………………………………4分

因为点

∴

∴
……………………………………………………6分

(Ⅱ)

∵
在
是增函数，即
在
恒成立.

亦即
在
上恒成立. 即
在
恒成立. ………………8分

令
，而
……………………10分

当
时，
，从而

∴h(x)在
为增函数，所以
…………………12分

故
，实数λ的取值范围是
. ………………13分

20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：由题意可知

得 ……………………3分

………………………………………………5分

bn＝－6n+30－

,由n∈N*知，当n≥2时，
为递减数列，又b1＝10，
，所以，bn的最大值是11.…14分

21. （本小题满分14分）(Ⅰ) 解: 设B(x1，y1)， D(x2，y2)，

由
得
，

由Δ
，得
或
，

且y1＋y2＝4m， y1y2＝－4m．………………………………2分[来源:Zxxk.Com]

又由
得y2－4my＝0，

所以y＝0或4m．故A (4m2，4m)．………………………………4分

由 | BD |＝2 | OA |，得

(1＋m2)(y1－y2)2＝4 (16m4＋16m2)，

而 (y1－y2)2＝16m2＋16m，

故m＝
． …………………………………………
………… 6分

(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得，

x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2m＝4m2＋2m．

所以
＝

＝
＝
＝
．…………9分

令
＝t，