2014年1月甘肃省河西五市部分普通高中

高三第一次联合考试 数学试卷（文科）

命题：嘉峪关市酒钢三中 朱兮云 杨林世 王玉胜

一、选择题（每题5分
，共60分）

1. 若集合
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

2. 设
为虚数单位，则复数
等于（ ）

A．
B．1－
C．－1＋
D．－1－

3. 已知向量a=(1,2)，向量b=(x, －2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于

A.9 B.－9 C.－3 D. 3

4. 在正项等比数列
中，
，则
的值是

A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10

5. 执行下面的程序框图，如果输入
，那么输出的n的值为

A．2 B．3 C．4 D．5

6.若函数
的图象向右平移
个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，正方体
的棱长为1，线段
上有两个动点E，F，且
，则下列结论中错误的是（ ）

A.
B.

C.三棱锥
的体积为定值 D.

8. 若
，则直线
与

轴、
轴围成的三角形的面积小于的概率是[来源:学§科§网][来源:学科网]

A.
B.
C.
D.

9. 设变量
满足约束条件
且目标函数
的最大值为4，且取得最大值的最优解有无穷多个，则
的值为（ ）

A.
B. 1 C.
D.

10. 已知椭圆
的右焦点为
,过点F
的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为

,则E的方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

11. 在
中，
分别为
的对边，三边
成等差使数列，且
则
的值为

A.
B.
C.
D.

12. 对于实数
和
，定于运算“
”：
设函数
.若函
数
的图象与
轴恰有两个公共点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空（每题5分，共20分）

13. 某普通高中有3000名学生，高一年级800名，男生500名，女生300名；高二年级1000名，男生600名，女生400名；高三年级1200名，男生800名，女生400名，现按年级比例用分层抽样的方法抽取150名学生，则在高三年级抽取的女生人数为________．

14.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积___________.

15.已知函数
,则
___________.

16.已知函数
的定义域为
，若存在常数
，对
，有
，则称函数
具有性质
.给定下列函数①
；②
；③
；④
.具有性质
的函数的序号是______.

三、解答题（6道大题，共70分）

17. （本题10分）已知等差数列
满足
的前
项和为
.

（1）求
及
；（2）令
，求数列
的前
项和
.

18. （本题12分）某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.这25名学生的测试成绩编成如图所示的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生的中位数相同.

(Ⅰ)求这两个班学生的中位数记x的值；

（Ⅱ）如果将这些成绩分为优秀（得分在175分以上，包括175分）和过关，若学校再从这两个班获得优秀成绩的学生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率.

19. （本题12分）已知函数
（其中
的最小正周期为
．

（1）求
的值，并求函数
的单调递减区间；

（2
）在锐角
中，
分别是角
的对边，若

的面积为
，求

．

20. （本题12分）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD
底面ABCD，PD
CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
，

E为AD的中点.

(Ⅰ) 求证：BC
PB；

（Ⅱ）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC.

21．（本题12分）设函数
为奇函数，其图像在点
处的切线与直线
垂直，导函数
的最小值为－12.

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间，并求函数
在[－1,3]上的最值

22. （本题12分）已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点，而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点
.

（1）求双曲线
的方程；

（2）若直线
与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点，且
与
的两个交点为A和B满足
（其中O为原点），求
的取值范围.

[来源:学科网ZXXK]

2014年1月甘肃省河西五地市部分普通高中高三第一次联考

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

A

C

D

D

C

A

B[来源:学.科.网]

D

B





二、填空（每题5分，共20分）

13. 20 14.
5. －2 16.①④

三、解答题（共计70分）

17.（本题10分）(Ⅰ)设等差数列
的首项为
，公差为
，

由
，解得
．

由于
，所以
.………（5分）

（Ⅱ）因为
，所以
，因此
．

故
，

所以数列
的前n项和

． ………………………（5分）

18.（本题12分）

(Ⅰ)甲班参加测试人数为12，中位数
.

乙班参加测试人数为13，中位数是150+x，故x=7. ………………………（6分）

（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有一人入选”，设甲班2位优秀学生为
，乙班3位优秀学生为
,则从5人中选出3人的情况有：
共10种；其中至多有一名甲班学生的情况有7中，故
.………………
………（6分）

19.（本题12分）

解：(Ⅰ)由已知得
，于是
．
的单调递减区间为
．……（5分）

………（7分）

20.（本题12分）

(Ⅰ) 如图，
[来源:Z,xx,k.Com]

……………………………（6分）

（Ⅱ）PD上存在点G，使得EG∥平面PBC.

.………………………………………………………
…………………………（6分）

21.（本题12分）

解　(Ⅰ)
∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－
f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.

∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.

又直线x－6y－7＝0的斜率为，

因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.

∴a＝2，b＝－12，c＝0.
………………（5分）

（Ⅱ）单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．

f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.………………（7分）

22.（本题12分）

解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为
，

则

故C2的方程为
………………（4分）

（Ⅱ）将

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即
①………………（6分）

.

由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A
，B得

………………（8分）

解此不等式得

③………………（10分）

由①、②、③得

故k的取值范围为

………………………………………………（12分）