湖北省黄冈市重点中学2014学年第二学期3月月考

高三理科数学试卷 2014.3

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式：

如果事件
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么

次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

棱台的体积公式

球的表面积公式

其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，

球的体积公式
表示棱台的高

其中
表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
.若
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

3．已知某几何体的三视图（单位:
）如图所示，则此几何体的体积是( )

A．1
B．3
C．5
D．7

4．已知条件
：
，条件
：直线
与圆
相切，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移
个单位后得到的函数对应的表达式为
，则函数
的表达式可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．如图所示的程序框图，若执行运算
，则在空白的执行框中，应该填入（ ）

A．
B．

C．
D．

7．从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（ ）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

8．在△ABC中，
，则角A的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知点
，若
为双曲线
的右焦点，
是该双曲线上且在第一象限的动点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将△ABE沿直线BE翻转成△A1BE，使平面A1BE
平面ABCD，则点A1的轨迹是（ ）

A．线段 B．圆弧

C．椭圆的一部分 D．以上答案都不是

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．二项式
的展开式中，含
的项的系数是________.

12．已知
是实数,且
(其中i是虚数单位),则
=_____.

13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量
为两人中能达标的人数，则
的数学期望
为 ．

14．数列
满足
,则
.

15．已知函数
则
的值为 .

16．已知实数
满足
，则
的最小值是 .

17．设
为不小于2的正整数，对任意
，若
（其中
，
，且
），则记
，如
，
.下列关于该映射
的命题中，正确的是 .

①若
，
，则

②若
，
，
，且
，则

③若
，
，
，
，且
，
，则

④若
，
，
，
，且
，
，则

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在
中，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积.

19．（本题满分14分）已知等比数列
的各项均为正数，且
成等差数列，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）已知
，记
，

,求证：

20．（本题满分14分）四棱锥
底面是菱形，
，

,
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证: 平面
⊥平面
；

（Ⅱ）
是
上的动点，
与平面
 所成的最大角为
，求二面角

的正切值.

21.（本题满分15分）抛物线
，直线
过抛物线
的焦点
，交
轴于点
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）过
作抛物线
的切线，切点为
（异于原点），

（i）
是否恒成等差数列，请说明理由；

（ii）
重心的轨迹是什么图形，请说明理由.

22．（本题满分15分）已知
（
）

（Ⅰ）若方程
有3个不同的根，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数
，使得
在
上恰有两个极值点
，且满足
，若存在，求实数
的值，若不存在，说明理由．

理科数学参考答案

2014.3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

D

C

C

C

B

A

B

D



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．-56 12．
13．1.6 14．
15．-1 16．4 17．②③④

三、解答题：

18（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）2
（Ⅱ）3

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥面ABCD，∠ABC=
,E,F分别是BC,PC的中点.

（1）求证: 面AEF⊥面PAD

（2）H是PD上的动点，EH与面PAD所成的最大角为
，求二面角E-AF-C的正切值.

(1)设菱形ABCD的边长为2a，则
AE=

,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.

（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.

过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.

∵∠AHE＝
，∴AH＝AE＝
，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=
﹒
,PA=2
,PC=4a,EQ=
,CQ=
,GQ=
,tan∠EGQ=
.

21.(1) 即证
(2) 能 抛物线

22．（本题满分15分）已知
（
）

（Ⅰ）若方程
有3个不同的根，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数
，使得
在
上恰有两个极值点