宜昌市2014届高三年级第二次调研考试

理科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则
的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列说法正确的是（ ）

A．若已知两个变量具有线性相关关系，且它们正相关，则其线性回归直线的斜率为正

B．直线
垂直于平面
的充要条件为
垂直于平面
内的无数条直线

C．若随机变量
，且
，则

D．已知命题
，则

4．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为
，且
到其中一条渐近线的距离为
，则该双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）

A．158 B．108 C．98 D．88

6．已知不等式
的解集为
，则二项式
展开式的常数项是（ ）

A．-15 B．15 C．-5 D．5

7．若函数
的图象向右平移
个单位后与函数
的图象重合，则
的值可能是（ ）

A．-1 B．-2 C．1 D．2

8．设点
是区域
内的随机点，函数
在区间
上是增函数的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
是非零向量，它们之间有如下一种运算：
，其中
表示
的夹角．给出下列命题：

①
；②
；③
；

④
；⑤若
，则
，其中真命题的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．已知直线
和圆
，点
在直线
上，
为圆
上两点，在
中，
，
过圆心
，则点
的横坐标的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11．直线
的倾斜角为
，则
的值为 ．

12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
的值是 ．

13．一物体在力
（单位：
）的作用下，沿着与力
相同的方向，从
处运动到
处（单位：
），则力
所做的功为
．

14．数列
的前
项组成集合
，从集合
中任取
（
）个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记
．例如：

当
时，
；

当
时，
．

则，（1）
；（2）
．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题做答结果计分．）

15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，在
中，
是
的平分线，
的外接圆交
于点
，
，则
的长为 ．

16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点
为直线
上一点，点
为曲线
（
为参数）上一点，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）在
中，三个内角
所对的边分别为
，已知
．

（1）求角
的大小；

（2）求
的最大值．

18．（本小题满分12分）数列
的前
项和记为
．

（1）当
为何值时，数列
是等比数列；

（2）在（1）的条件下，若等差数列
的前
项和
有最大值，且
，又
、
、
成等比数列，求
．

19．（本小题满分12分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作，180分以下者到“乙部门”工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．

（1）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

（2）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用
表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出
的分布列，并求出
的数学期望．

20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱
中，
，
平面
，
为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）在
上是否存在一点
，使得
，若存在，试确定
的位置，并求此时二面角
的大小．

21．（本小题满分13分）已知椭圆
的焦距为2，且与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设椭圆
的左、右顶点分别为
，过点
的直线
与椭圆
交于两点
（
在
的右侧），直线
相交于点
，求证：点
在一条定直线上．

22．（本小题满分14分）已知函数
．

（1）当
，求函数
的图象在
处的切线方程；

（2）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（3）已知
均为正实数，且
，求证：

．

宜昌市2014届高三年级第二次调研考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

A

B

D

B

A

C

B

D



10、设
，则圆心
到直线
的距离
，由直线
与圆
相交，得
．解得

二、填空题

11、
12、
13、
14、（1）
（2）
15、
16、

三、解答题

17、（Ⅰ）由正弦定理

即
3分

由余弦定理得
∵
∴
5分

（Ⅱ）由（1）得

则
7分

10分

∵
∴

∴当
即
时，
有最大值
12分

18、（Ⅰ）由
，可得
，

两式相减得
3分

∴当
时，
是等比数列

要使
时，
是等比数列，则只需
，从而
． 6分

（Ⅱ）设
的公差为
，由
得
，于是
7分

故可设
，又
，

由题意可得

解得
9分

∵等差数列
的前
项和
有最大值，∴
10分

∴
． 12分

19、（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为

根据茎叶图，甲部门人选
人，乙部门人选
人

∴选中的甲部门人选有
人，乙部门人选有
人 3分

用
表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件
表示“没有一名甲部门人选被选中”，则

故至少有一人是“甲部门”人选的概率是
5分

（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数
的取值分别为
6分

10分

∴
的分布列为

























∴
12分

20、（Ⅰ）∵
∴四边形
为正方形 ∴
2分

又∵
平面
∴
∴
面
∴
4分

又在直棱