湖南省怀化市2014届高三3月第一次模拟考试数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（
非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共45分）

一、选择题：本大题共9小题，
每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1.复数
（
为虚数单位）的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中的假命题是

A.
B.

C.
D.

3．已知随机变量
的值如右表所示，如果
与
线性

　相关 且回归直线方程为
，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

4．已知命题
，命题
，且
是
的充分而不必要条件,则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

5．圆柱形容器内盛有高度为6
的水，若放入三个相同的球

　（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最
上面

　的球（如右图所示），则球的半径是

A.

B. 2

C. 3
D. 4

6.已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则

的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7．按照如图的程序运行，已知输入
的值为
，

则输出
的值为

A. 7 B. 11

C. 12 D. 24

8．如图，
、
是椭圆
与双曲线
：
的公

共焦点，
、
分别是
与
在第二、四象限的公共点.?

若四边形
为矩形，则
的离心率是

A.
B.
C.
D.

9．若
是定义在
上的函数，且对任意实数
，都有
≤
，

≥
，且
，
，则
的值是

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017

第Ⅱ卷（非选择题 共105分）

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.[来源:学科网ZXXK]

10．以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程为
，直线的参数方程为
（
为参数），则圆心到直线的距离是 .

11．若
，则
.

12．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是
． 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．

13．已知向量
，
，

，若
，则
的最小值

为 ．

14．已知某几何体的三视图（如下图），其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积
的大小为 ．

15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究
数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，……，若按此规律继续下去，

　　(1)

_________；(2) 若
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
，
，

（Ⅰ）求角
和角
；

（Ⅱ）求
的面积
.

17．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：(如图)以
为起点,再从
这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为
,若
就让
甲去；若
就让乙去；若
就是丙去.

（Ⅰ）写出数量积
的所有可能取值；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率，

并由求出的概率来说明这个规则公平吗？

18．（本小题满分12分）

如图，四边形
为正方形，
平面
，
，
.

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分13分）

已知等差数列
的前
项和为
，公差
，且
，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是首项为1公比为2 的等比数列，求数列
前
项和
.

[来源:Z.xx.k.Com]

20．（本小题满分13分）[来源:学科网]

已知椭圆
:
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若直线
交椭圆
于
两点，在直线
上存在点
,使得
为等边三角形,求
的值.

21．（本小题满分13分）

已知函数
(
是常数)在
处的切线方程为
，且
.

（Ⅰ）求常数
的值；

（Ⅱ）若
函数
(
)在区间
内不是单调函数，求实数
的取值范围.

2014年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学（文科）参考答案与评分标准　

一、选择题（
）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

A

B

D

A

C

B

D

C

C



二、填空题（
）

10．
； 11．
； 12．16； 13．8； 14．
； 15．（1）35；（2）9.

三、解答题：

16解： （Ⅰ）∵


, ∵
,
∴
,

∴
,
或
,
……………………6分

注：只得一组解给5分.

（Ⅱ）当
时,
； 当
时,
,

所以S=
或
……………………………12分[来源:Zxxk.Com]

注：第2问只算一种情况得第2问的一半分3分.

17解： （Ⅰ）

…………………………3分

的所有可能取值为
…………………………5分

（Ⅱ）P（甲去）=
…………………………7分

P（乙去）=
…………………………9分[来源:学.科.网Z.X.X.K]

P（丙去）=
…………………………11分

甲乙丙去的概率不相同，所以这个规则不公平…………………………12分

18证明： （Ⅰ）∵
面
， ∴
，又
,

所以
面
，∴
，

在直角梯形
中，设
，则
，

所以
，又
,所以
面
，又
面
，

∴平面
⊥平面
………………6分

（Ⅱ）由（1）知
面

∴
就是二面角
的平面角………………9分

在
中
，所以

……………12分

19解： （Ⅰ）依题得
………………2分

解得
………………4分

，即
……………6分

（Ⅱ）
………………7分

①

②…………9分

两式相减得：

………………13分

20解：(Ⅰ)因为椭圆
:
的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为
的菱形的四个顶点, 所以
,

椭圆
的方程为
……………… 4分

(Ⅱ)设
,则

（i）当直线
的斜率为0时，
的垂直平分线
就是
轴，

轴与直
线
的交点为
,

又

，

所以
是等边三角形,所以
满足条件；………………6 分

(ii)当直线
的斜率存在且不为0时，设
的方程为

所以
，化简得
解得

所以
……………… 8分

又
的中垂线为
，它
的交点记为

由
解得

则
……………… 10分

因为
为等边三角形， 所以应有

代入得到
，解得
（舍），

综上可知，
或
……………… 13分

21解： （Ⅰ）由题设知，
的定义域为
,
,

因为
在
处的切线方程为
，

所以
,且
，即
,且
,

又