湖南省怀化市2014届高三3月第一次模拟考试数学（理科）试题

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1. 复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分

区间
、
、
、
进行统计，

现抽出了一个容量为
的样本,其频率分布直方图如图所

示,其中支出在
元的同学有24人,则
的值为

A．80 B．800

C．72 D．720

3. 在锐角
中，角
的对边分别为
. 若
，则角
为

A．

B．
C．
D．

4. 若变量
满足约束条件
，那么
的最大值是

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网ZXXK]

5. 函数
的图像与函数
的图像的交点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

6. 在平面直角坐标系中,
为坐标原点,点
,将向量
绕点
按逆时针方向旋转
后得向量
,若向量
满足
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图

都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，

则此几何体的体积
为

A．
　B．

C．
　D．

8. 在等腰
中，
，点
是边
上异

于
的一点，光线从点
出发，经
反射后又回

到原来的点
. 若
，则
的周长等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

9. 以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为
,它与抛物线
(
为参数)相交于两点
和
,则
= .

10. 如图,⊙
的直径
,
是
延长线上的一点,过
作⊙
的

切线
,连接
,若
,则点
到
的距离等于 .

11. 已知函数
的定义域为R，则
的取值范围是 .

（二）必作题（12~16题）

12. 若二项式
的展开式的常数项为T, 则
.

13.右边程序运行的结果是 .

14．设
是双曲线
的两个焦点，

是双曲线
上一点，若
且
的

面积为9，则
的离心率为 .

15．设
为数列
的前
项和，数列
满足a1＝1，a2＝1，

且
(n＝1,2,3，…)． 则
___________.

16. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中
，
，
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，
1,2，…，
，则称
为“完并集合”.

（1）若
为“完并集合”，则
的一个可能值为 .（写出一个即可）

（2）对于“完并集合”
，则集合C的个数是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知向量
，向量
，

(Ⅰ)求函数
的最小正周期和对称轴方程；

(Ⅱ)若
是第一象限角且
,求
的值.

18．（本小题满分12分）

为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同
的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．

（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（Ⅱ）设摸球次数为
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

已知三棱锥
,
,

，
分别是

的中点.

(Ⅰ)求证:
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分13分）

已知函数
，
,令
.

(Ⅰ) 当
时，求
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，若存在
， 使得
成立，求
的取值范围.

21．（本小题满分13分）

已知
是椭圆
:
的焦点，点
在椭圆
上.

（Ⅰ）若
的最大值是
，求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
、
两点，过
、
两点分别作椭圆
的切线
，
，且
与
交于点
， 试问：当
变化时，点
是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.

22. （本小题满分13分）

已知集合
．对于
，
，定义；
,

；
与
之间的距离为
．

（Ⅰ）当
时，设
，
．若
，求
；

（Ⅱ）证明：若
，且
，使
，则
；

（Ⅲ）记
．若
，
，且
，求
的最大值．

2014年怀
化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学（理科）参考答案与评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

D

C

C

B

B

A



一、选择题（
）

8题提示：以AB、AC所在直线分别为x、y轴建立坐标系，

则点
关于直线BC的对称点为
，点
关于直线AC的对称点为

，则
的周长等于

二、填空题（
）

选做：9．8； 10．
； 11．
；

必做：12．
； 13．21； 14．
； 　15．
；

　16．（1）9，13中任一个，（2）3．

16题提示：（2） 解：因为

而
，
，
1,2，…，
，

所以
，且
，
的最小值为 6

所以
或
或

三解答题：

17解:(Ⅰ)∵
…4分

∴最小正周期
; 对称轴方程为
…………6分

(Ⅱ)由
,得
……………………8分

又x是第一象限角

∴
,故
…………………10分

∴
…………………12分

18解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． [来源:学科网ZXXK]

则

（列式正确，计算错误，扣1分）………2分

（列式正确，计算错误，扣1分）………4分

三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况．

……6分

（Ⅱ）设摸球的次数为
，则
1、2、3、4.

，
，
，

………………10分

故取球次数
的分布列为

1

2

3[来源:学*科*网Z*X*X*K]

4
















…………12分

19证明： (Ⅰ)
面
面
，且面
面
，

， 而
，故
.

又
， 由此得
……………6分

(Ⅱ) 因D、E分别是PB、PC的中点，

又
，

………9分

令
，则

在
中，

所以二面角P-ED-A的余弦值
………12分

20解：(Ⅰ)依题意，
……………1分

所以
=
，定义域为
………2分

又
……4分

当
时，
，令
，得
或
；

令
，得
；

当
时，
；

当
时，
，令
，得
或
；

令
，得
；

综上所述：

当
时，
的单调递减区间为
，

的单调递增区间为

当
时，
的单调递减区间为

当
时，
的单调递减区间为
，

的单调递增区间为
………8分

(Ⅱ) 由(1)可知，当
时，
在区间
单调递减

所以
.

所以