2014年大连市高三双基考试

数学（文科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

三．解答题

17．解:(Ⅰ)

. 4分

当
（
，

即
时，
取最大值
. 6分

18. 解：（Ⅰ）
列联表如下：

甲 厂

乙 厂

合计



优质品

400

300

700



 非优质品

100

200

300



 合计

500

500

1000




4分

∵
，∴有99.9%的把握认为“生产的零件是

否为优质品与分厂有关”. 6分

（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂抽取五件零件，

从乙厂抽取优质品3件，记为
，非优质品2件，记为
.

从这五件零件中任意取出两件，

基本事件空间
8分

用表示“至少有一件非优质品”这一事件，则
. 10分

. 12分

19. 解：(Ⅰ)取
中点
，因为三角形
是等边三角形，

所以
，

又因为面
底面
，
面
，

面
面
=
，

所以
面
，

又
面
，

所以
.

又
，
，
面
，
面
，

所以
底面
. 6分

(Ⅱ) 显然
不是
，棱
上若存在一点
，使得
面
，过
作
交
于
，连接
，所以
，即
和
共面.

所以
，所以四边形
为平行四边形， 所以
，所以

是梯形
的中位线，
为
的中点. 12分

20. 解：（I）设点
，
，则
，则由
，

得
，即
， 3分

因为
，所以
. 5分

点O到直线AB:
的距离
,

10分

.

当且仅当
，即
时取等号.

所以，三角形OAB面积的最大值为
. 12分

21．解：(Ⅰ)
，
解得
. 2分

解得
，
在
上为增函数，

解得
，
在
上为减函数.

所以
在
取极大值
. 5分

（Ⅱ）
等价于
，

设函数

7分

由题意知
,即
. 8分

当
时，设
，

其开口向上，对称轴
，

，所以
在
上恒成立. 10分

所以
在
上恒成立，

即
在
上为增函数，

所以
.

所以实数
的取值范围为
. 12分

22.证明：（Ⅰ）连接
，∵
为
的切线，

∴
,

∴
,

∵
，∴
，

∵
，∴
,

∴
，∴
. 5分

（Ⅱ）连接
,∵
，∴
，

∵
，∴△
∽△

∴
，又∵
，∴
.

∴
. 10分

23.解：（I）圆
的普通方程为：
，则
的极坐标方程为：

圆
的普通方程为：
，则
的极坐标方程为：
5分

(II)设
，则有
，解得
，
，所以点的极坐标为

10分

24.解：（I）原不等式等价于
或
或

解得原不等式解集为
5分

(II)
7分

图象如图所示，其中

，

直线
绕点
旋转，

由图可得不等式

的解集非空时，的范围为

10分