2014年福州市高中毕业班质量检测

文科数学试卷

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
则
( )

A.{x|x<－2或x>2} B.{x|x>2} C.{x|x>1} D.{x|x<1}

2.“m=1”是“复数
(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.在
中,
,则下列等式成立的是 ( )

A.
B.
C.
D.

4.函数y=lnx－1的图象关于直线y=x对称的图象大致是 ( )

A B C D

5.执行如图所示的程序框图,输出的M值是（ ）

A．2 B．
C．
D．

6.记等比数列
的前
项积为
，若
，则
（ ）

A.256 B.81 C.16 D.1

7.已知x,y满足
,且目标函数z=2x+y的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是( )

A.1 B.
C.
D.

8.将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于( )

A.
B.
C.
D.－

9. 若直线
与圆C：
相交于A、B两点,则
的值为( )

A.－1 B.0 C.1 D.6

10. 若
在区间
上有极值点,则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

11.如图,直线y=m与抛物线y2=4x交于点A，与圆(x－1)2+y2=4的实线部分交于点B,F为

抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是( )

A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4] D.[4,6]

12. 若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当x∈[0,1]时，其图象是四分

之一圆(如图所示)，则函数H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )

A.5 B.4 C.3 D.2

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

13.命题
,使得
，则
为

14.函数
,则任取一点
,使得
的概率为

15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

16. 已知函数

则
=

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. （本小题满分12分）已知数列
为等差数列，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；(Ⅱ) 求证：
.

18. （本小题满分12分）近年来,我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与
有关.
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.
日均值越小，空气质量越好.为加强生态文明建设，我国国家环保部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见下表：

日均值k(微克)

空气质量等级





一级





二级





超标





某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的
日均值作为样本，样本数据茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）．

（Ⅰ）求甲、乙两市
日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；

（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．

19. （本小题满分13分）已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
若向量
与向量

共线，求
的值.

20. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形, E是
的中点,F是棱CC1上的点.

（Ⅰ）当
时，求正方形AA1C1C的边长；

（Ⅱ）当A1F+FB最小时，求证：AE⊥平面A1FB.

21. （本小题满分12分）动点
到定点
与到定直线,
的距离之比为
．

（Ⅰ）求
的轨迹方程；（Ⅱ）过点
的直线
（与x轴不重合）与（Ⅰ）中轨迹交于两点
、
.探究是否存在一定点E(t，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

22. （本小题满分14分）已知函数
.其中
.

（Ⅰ）若曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;

（Ⅱ）若f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立,求实数a的值;

（Ⅲ）当a<0时，对于函数h(x)=f(x)－g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为
,若
,求a的取值范围.

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数学(文)评分标准及参考答案

1--12; BCDAB CDDBC BB

13.
,都有f(x)≠x 14.1/2 15.10 16.－1007

17. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

由
得
所以d=1；…………3分

所以
即
．…………6分

(Ⅱ)证明：
…………8分

所以


……12分

18. 解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是32，34,45,56,63,70；乙市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.

，
．……3分

因为
，所以甲市的空气质量较好. …… 4分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有2天空气质量等级为一级，有4天空气质量等级为二级，空气质量等级为二级的4天数据为
，空气质量等级为一级的两天数据为
，则6天中抽取两天的所有情况为
，基本事件总数为15. …… 9分

记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件A，则事件A包含的基本事件为：
，事件数为8. …… 11分

所以
. 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为
.---------12分

19. 解:(I)
=
=

令
，

解得
即
…………4分

,f(x)的递增区间为
………………6分

(Ⅱ)由
,得

而
,所以
,所以
得

因为向量
与向量
共线，所以
，

由正弦定理得:
　　　　 ①……………10分

由余弦定理得:
,即a2+b2－ab=9　②………11分

由①②解得
……………12分

20. 解：（Ⅰ）设正方形AA1C1C的边长为

由于E是
的中点，△EAB的面积为定值。

∥平面
，
点F到平面EAB的距离为定值

即为点C到平面平面
的距离

又
，且
=

即
，
………………5分

（Ⅱ）解法一：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,此时点
使得
最小.此时
平行且等于
的一半,

为
的中点.……7分

取AB中点O，连接OE,EF，OC，
为平行四边形，

△ABC为正三角形，

，又
平面ABC，
,且
,
平面
,
平面
，

,又
∥
,
………… 11分

由于E是
的中点，所以
,又
,

所以直线AE与平面
垂直…………12分

解法二：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,此时点
使得
最小.此时
平行且等于
的一半,
为
的中点.…………7分

过点
作
交
于
，则
是
的中点，
.

过点
作
交
于
，则

又
于是在
中，

在
中，

在
中，
，
∴
………… 11分

由于E是
的中点，所以
,又
,

所以直线AE与平面
垂直…………12分

21. 解：（Ⅰ）由题意得,
,…………2分

化简得,
,即
,即点
的轨迹方程 …………4分

（Ⅱ）若存在点E(t，0)满足题设条件.并设M(x1，y1)、N(x2，y2)，

当
⊥x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等……5分

当
与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．

，得
，

所以
…………7分

根据题意，x轴平分∠MEN，则直线ME、NE的倾斜角互补，即KME＋KNE＝0．……8分

设E(t，0)，则有
(当x1＝t或x2＝t时不合题意)

又k≠0，所以
，将y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)代入上式，得
又k≠0，所以
，即
，

，
，…………10分

将
代入，解得t＝2．…………11分

综上，存在定点E(2，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等。……………12分

22. 解: （Ⅰ）
,依题意得:a=2; ……………2分

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0. ……………3分

两直线间的距离为
……………4分

（Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则

当a≤0时, 注意到x>0, 所以
<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故00,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,

当
,
当
时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分

∴h(x)≤

因为h(1)＝0,又当a≠2时,≠1,
与
不符.

所以a＝2. ……………9分

（Ⅲ）当a<0时,由(2)知
<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设0

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2, ……………11分

令H(x)＝h(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1,H(x)在(