时量120分钟 满分 150分

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求．

1. 复数
(
为虚数单位)的共轭复数是( )

A．
B．
C．
D．

2. “
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 函数
的大致图象为( )

4.小王从学校到家往返的时速分别为a和b（a

A.a

5. 已知向量

，

，且
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

6. 若
的最小值为
，其图像相邻最高点与最低点

横坐标之差为
，又图像过点
，则其解析式是( )

A．
B．
C．
D．

7. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为( )

A．
B．
C．
D．

8.在区间[0，
]上随机取一个数
，则事件“
”发生的概率为( )

A．
B．
C．
D．

9. 定义方程
的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数
，

的“新驻点”分别为
，
，
，则
，
，
的

大小关系为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．在极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣2cosθ与曲线C2：ρ=2sinθ的图象的交点个数为　 　．

11. 设不等式组
表示的平面区域为M，若直线l：
上存在区域M内的点，则k的取值范围是　 　．

12. 一个几何体的三视图如右图示，根据图中的数据，

可得该几何体的表面积为 　　　　．

13. 在2013年3月15日那天，长沙县物价部门对星沙的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x

9

9.5

10

10.5

11



销量y

11

10

8

6

5



根据上表可得回归直线方程是：
则
__________.

14. 已知双曲线

的右焦点为
,过点
作一条渐近线的垂线，垂足为

，
的面积为
（
为原点），则此双曲线的离心率是
____ ______.

15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；

（Ⅱ）b2k-1=　 　．。（用k表示）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本小题12分) 已知函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，
分别是
A、
B、
C的对边，若
，
，

的面积为
，求
的值.

17.（本小题12分）长沙市政府为了了解居民的生活用电情况，以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响，决定制定一个合理的月均用电标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2013年的月均用电量（
单位：度）数据，样本统计结果如下图表：

分组

频数

频率



[0，10]



0.05



[10，20]



0.20



[20，30][来源:Zxxk.Com]

35





[30，40]



a



[40，50]



0.15



[50，60]

5





合计

n

1



（1）分别求出n，a的值；并将频率分布直方图补齐.

（2）若月用电紧张指数y与月均用电量x（单位：度）满足如下关系式：y=
+0.3，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率．

18. (本小题12分) 如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱
中，

,且
，点
是
中点．

(1)求证：平面
⊥平面
　；

(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，

求三棱锥
的体积．　

19．（本小题13分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出
件，（n∈N*）．

（1）试写出销售量s与n的函数关系式；

（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

20. (本小题13分) 已知椭圆
的离心率为
， 且直线

是抛物线
的一
条切线。

(1)求椭圆
的方程；

(2)过点
的动直线
交椭圆
于A、B两点，试问：在直角坐标平面上

是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T

的坐标；若不存在，请说明理由。

21. (本小题13分) 已知函数
，
.

(1)求函数
在

上的单调区间；

(2)若函数
有两个不同的极值点

，

且
，求实数
的取值范围．

命题 蒋勇辉 审题 黄菊红

时量120分钟 满分 150分

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求．

1. 复数
(
为虚数单位)的共轭复数是( C )

A．
B．
C．
D．

2. “
”是“
”的( A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 函数
的大致图象为( D )

4.小王从学校到家往返的时速分别为a和b（a

A.a

5. 已知向量

，


，且
，则
的值为( B )

A．
B．
C．
D．

6. 若
的最小值为
，其图像相邻最高点与最低点

横坐标之差为
，又图像过点
，则其解析式是( A )

A．
B．
C．
D．

7. 按如下程序框图，若输出结果为S=17
0，则判断框内应补充的条件为( C )

A．
B．
C．
D．

8.在区间[0，
]上随机取一个数
，则事件“
”发生的概率为( D )

A．
B．
C．
D．

9. 定义方程
的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数
，

的“新驻点”分别为
，
，
，则
，
，
的

大小关系为( B )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．在极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣2cosθ与曲线C2：ρ=2sinθ的图象的交点个数为　2　．

11. 设不等式组
表示的平面区域为M，若直线l：
上存在区域M内的点，则k的取值范围是
.

12. 一个几何体的三视图如右图示，根据图中的数据，

可得该几何体的表面积为
　　　　．

13. 在2013年3月15日那天，长沙县物价部门对星沙的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x

9

9.5

10

10.5

11



销量y

11

10

8

6

5



根据上表可得回归直线方程是：
则
____40 ______.

14. 已知双曲线

的右焦点为
,过点
作一条渐近线的垂线，垂足为

，
的面积为
（
为原点），则此双曲线的离心率是____ 2 ______.

15,传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除
的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本小题12分) 已知函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，
分别是
A、
B、
C的对边，若
，
，

的面积为
，
求
的值.

16.解：（1）

（2）由
，
，
又
的内角，
，
，

，
，
，

，

17. （12分）长沙市政府为了了解居民的生活用电情况，以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响，决定制定一个合理的月均用电标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2013年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如下图表：

分组

频数

频率



[0，10]



0.05



[10，20]



0.20



[20，30]

35





[30，40]



a



[40，50]



0.15



[50，60]

5





合计

n

1



（1）分别求出n，a的值；并补齐下频率分布直方图

（2）若月用电紧张指数y与月均用电量x（单位：度）满足如下关系式：y=
+0.3，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率．

解答：

解：（1）第3组
的频率=0.035×10=0.35 …（2分）

样本容量n=
=100 …（4分）

∴a=1﹣（0.05+0.20+0.35+0.15+
）=0.20 …（6分）

（2）由y≥70% 得
，∴x≥40 …（9分）

所以，用电紧张指数不小于70%的概率=0.15+0.05=0.20 …（12分）











18. (本小题12分) 如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱
中，

,且
，点
是
中点．

(1)求证：平面
⊥平面
　；

(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，

求三棱锥
的体积．　

18.证明：(1)证明（略）………………6分

19．（13分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出
件，（n∈N*）．[来源:Z_xx_k.Com]

（1）试写出销售量s与n的函
数关系式；

（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

解答：

（1）解法一、直接列式：由题，s=b+
+
+
+…+
=b（2﹣
）（广告费为1千元时，s=b+
；2千元时，s=b+
+
；…n千元时s=b+
+
+
+…+
）

解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，

由题：
，相加得Sn﹣S0=
+
+
+…+
，

即Sn=b+
+
+
+…+
=b（2﹣
）．

（2）b=4000时，s=4000（2﹣
），设获利为t，则有t=s?10﹣1000n=40000（2﹣
）﹣1000n

欲使Tn最大，则
，得
，故n=5，此时s=7875
．

即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．











20. (本小题13分) 已知椭圆
的离心率为
， 且直线

是抛物线
的一条切线。

(1)求椭圆
的方程；

(2)过点
的动直线
交椭圆
于A、B两点，试问：在直角坐标平面上

是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T

的坐标；若不存在，请说明理由。

20.解：（I）由
得

直线
是抛物线
的一条切线。所以

所以椭圆
…………………………5分

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为

当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为

所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T为点（0，1
）.…………8分

证明如下。当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）

当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：

由
得
设
则

所以
，即以AB为直径的圆过点（0，1）

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T. ……………………13分

21. (本小题13分) 已知函数
，
.

(1)求函数
在

上的单调区间；

(2)若函数
有两个不同的极值点

，[来源:Zxxk.Com]

且
，求实数
的取值范围．

21.解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
，f（x）在
上递减，在
上递增。

(1)当
时，函数f（x）在
上递减；（2）当
时
，函数f（x）在

上递减，在
上递增；（3）当
时，函数f（x）在
上上单调递增。