2014年大连市高三双基考试

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

17．解:(Ⅰ)

. 4分

当
（
，

即
时，
取最大值
. 6分

(Ⅱ)
,可得
，因为为△
内角，所以
. 8分

由余弦定理
，

由
，解得
. 10分

所以
. 12分

有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”. 6分

（Ⅱ）分层抽样从乙厂抽取优质品3件，非优质品2件.

取值为
.

所以
的分布列为

0

1

2













 10分

所以
.

(或者直接利用超几何分布的期望公式求得) 12分

19. 解：(Ⅰ)取
中点
，因为三角形
是等边三角形，所以
，

又因为面
底面
，
面
，面
面
=
，

所以
面
，又
面
，

所以
.又
，
，
面
，
面
，

所以
底面
. 4分

(Ⅱ)取
中点
，所以
底面
.分别以
为
轴建立空间直角坐标系如图所示.

所以
，在
上找一点

所以
，设面
的一个法向量
.

则
，不妨令
，则
. 8分

和面
所成角的余弦值为
，则
.

所以
，解得
或
（舍）.

所以
的中点符合题意. 12分

20.解：（I）设点
，则由

得
,

即
2分

因为点M,N在椭圆
上，

所以
4分

故

由题意知，
，

所以
， 6分

(II)将曲线C与直线
联立:

消y得：

直线l与曲线C交于A、B两点,设

又

7分

8分

点O到直线AB:
的距离
,

10分

.

当且仅当
，即
时取等号.

所以，三角形OAB面积的最大值为
. 12分

21．解：(Ⅰ)
， 1分

设
，不妨令
，

则
，当
时，
，
为增函数；当
时，
，
为减函数.

所以
，即
，所以在
时，

所以
在区间
上为减函数. 5分

（Ⅱ）
等价于
，

设函数
，对于函数
，不妨令
.

所以
，

8分

当
时，在
时，
，所以
在
为增函数，所以
，不符合题意；

当
，在
时，
，所以
在
为增函数，所以
，不符合题意；

当
时，在
时，
，所以
在
为减函数，所以
，即
在
上成立，符合题意；

综上，实数
的最小值为
. 12分

22.证明：（Ⅰ）连接
，∵
为
的切线，

∴
,

∴
,

∵
，∴
，

∵
，∴
,

∴
，∴
. 5分

（Ⅱ）连接
,∵
，∴
,

∵
，∴△
∽△

∴
，又∵
，∴
.

∴
. 10分

24.解：（I）

原不等式等价于
或
或

解得原不等式解集为
5分

(II)
7分

图象如图所示，其中

，

直线
绕点
旋转，

由图可得不等式

的解集非空时，的范围为

10分