理科数学(2014.2.24)

命题人：周强衡 审题人：黄亚林

本试卷包括选择题、填空题和解答
题三部分，共4页22小题，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，则
中所含元素的个数为

A．2 B．3 C．4 D．6

2．在复平面内，复数
对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．以q为公比的等比数列{
}中，
＞0，则“
”是“q＞1”的

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢

局次的不同视为不同情形)共有（　　）

A．30种 B．20种 C．15种 D．10种

6．对于函数
，若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．

D．

7．已知
，
分别为双曲线

，
的左、右焦点，若在右支上存在点
，使得点
到直线
的距离为
，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

8．已知定义在R上的函数
对任意的
都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分.

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

9．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M(4，
)到曲线
上的点最短距离为____，

10．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，

AC=3，CD是⊙O的切线，BD⊥CD于D,则CD= ．

11．(不等式选讲选做题) 设x，y，z∈R，且满足：x2＋4y2＋9z2＝3，

则x＋2y＋
3z的最大值为________

（二）必做题（12-16题）

12. 已知
，若
，则
的值等于

13. 已知函数f（x）＝－x2＋ax－2b．若a，b都是区间[0,4]内的数，

则使f（1）>0
成立的概率是　　　　．

14. 我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区1000名中学生开展

了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年

度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：

0 ~ 10小时； ②10 ~ 20小时; ③20 ~ 30小时；④30小时以上。

如右图是此次调查中数据统计过程的算法框图，已知输出的结果是680, 则平均半学年度课外读书时间不超过20小时的学生的频率是_______.

15. 设
是
的三边中垂线的交点,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是___________________.

16.如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c）n（n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定
规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为　　
， 数表6的第5行第3个数为　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知函数
的最大值为2.

(Ⅰ)求函数
在
上
的单调递减区间;

(Ⅱ)
中,
,角
所对的边分别是
,且
,求
的面积.

18．（本小题满分12分）我校高二一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

学生













语文（
分）

87

90

91

92

95[来源:学&科&网]



英语（
分）

86

89

89

92

94



根据表中数据，求英语分
对语文分
的线性回归方程；

要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以
表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量
的分布列及数学期望

（附:线性回归方程
中，
其中
为样本平均值，
的值的结果保留二位小数.）

19．（本小题满分12分）在如右图的几何体中，

四边形
为正方形，四边形
为等腰梯形，

∥
，
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分13分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1?600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1?000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1?270元. (每平方米平均综合费用＝)．

（1）求k的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

21．（本小题满分13分）已知椭圆
：
.

(1) 椭圆
的短轴端点分别为
(如图)，直线

分别与椭圆
交于
两点，其中点
满足
，且
.

①证明直线
与
轴交点的位置与
无关；

②若?
面积是?
面积的5倍，求
的值；

(2)若圆
:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.

22．（本小题满分13分）已知函数f（x）＝2lnx+ax2－1（a∈R）

(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＝1，分别解答下面两题，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围；

（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且f（x1）+f（x2）＝0，求证x1+x2>2.

长沙县实验中学2014届高三数学（理科）月考试卷

参考答案

一、选择题：

二、填空题：

9. 2 10.
11. 3 12. 3

13.  14. 0.32 15.
　 16.　10　，　30　．

三、解答题：

18.解：(1)
（1分）

（2分）

故回归直线方程为
(6分)

(2)随机变量
的可能取值为0,1,2.

（7分）
（8分）[来源:学科网]

（9分）

故
的分布列为

0

1

2














（12分）[来源:学科网]

19.解：(（1）证明1：因为
，

在△
中，由余弦定理可得
．…………………………………2分

所以
．

所以
．………………………………………………………3分

因为
，
，
、
平面
，

所以
平面
．………………………………………5分

证明2：因为
，设

，则
．

在△
中，由正弦定理，得
．……………………1分

因为
，所以
．

整理得
，所以
．……………………………………2分

所以
．…………………………………………………3分

因为
，
，
、
平面
，

所以
平面
．…………………………………………5分

（2）解法1：由（1）知，
平面
，
平面
，

所以
．

因为平面
为正方形，所以
．

因为
，所以
平面
．……………………………7分

取
的中点
，连结
，
，

因为
是等腰梯形，且
，
，

所以

．所以△
是等边三角形，且
．

取
的中点
，连结
，
，则
．

因为
平面
，
，所以
．

因为
，所以
平面
．

所以
为直线
与平面
所成角．…………………10分

因为
平面
，所以

．因为
，

在
△
中，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．……………………12分

解法2：由（1）知，
平面
，
平面
，

所以
．

因为平面
为正方形，所以
．

因为
，所以
平面
．……………………7分[来源:Z,xx,k.Com]

所以
，
，
两两互相垂直，

建立如图的空间直角坐标系
．

因为
是等腰梯形，且
，

所以
．

不妨设
，则
，
，
，

，
，

20.解：：（Ⅰ）当每栋楼建为5层时,那么每栋楼的建筑费用为：

………………（1分）

所有10栋楼的建筑总费用为：