江西省吉安一中2013－2014学年上学期高三第二次段考

数学试卷（理科）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分。）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 复数
的虚部记作
，则

A.
B.
C.
D.

2. 函数
的定义域是（ ）

A. （0，1） B. [0，1） C. （0，1] D. [0，1]

3. 已知等差数列
满足
，则它的前10项和
（ ）

A. 85 B. 135 C. 95 D. 23

4. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中，体重在[56.5，64.5]的学生人数是（ ）

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

5.
的展开式中常数项是（ ）

A. －160 B. －20 C. 20 D. 160

6. 下图中阴影部分区域的面积S＝（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图像大致为（ ）

8. 已知直线
与直线
：
平行且与圆：
相切，则直线
的方程是（ ）

A.
B.
或

C.
B.
或

9. 设x，y满足约束条件
，若目标函数
（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是（ ）

A. （0，
] B. （0，
） C. [
，
） D. （0，
）

10. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合
※
中的元素个数是（ ）

A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 若
，则
。

12. 如下图，在四边形ABCD中，

，E为BC的中点，且
＝x﹒
＋
，则3x－2y＝ 。

13. 已知函数
，则函数f（x）过点（2，1）的切线方程为 。

14. 在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为
，某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）＝3000x－20x2，C（x）＝600x＋4000（x∈N*），现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润＝收入－成本），则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 元。

15. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A＝
，B＝
，C＝
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，k＝1，2，…，n，则称M为“完并集合”。

（1）若M＝｛1，x，3，4，5，6｝为“完并集合”，则x的一个可能值为 。（写出一个即可）

（2）对于“完并集会”，M＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，l2｝在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是 。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

16. （本小题满分12分），在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
，向量
，且

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a＝9，b＝5，求向量
在
方向上的投影。

17. （本小题满分12分）正项数列
的前n项和Sn满足：

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，数列
的前n项和为Tn，

证明：对于任意的n∈N*且n≥2，都有

18. （本小题满分12分）某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学

A

B

C

D



人数

30

40

20

10



为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查。

（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；

（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用
表示抽得A中学的学生人数，求
的分布列。

19. （本小题满分12分）

已知m∈R，直线l：
和圆C：
。

（1）求直线l斜率的取值范围；

（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为
的两段圆弧？请说明理由。

20. （本小题满分13分）对于函数
（x∈D，D为函数的定义域），若同时满足下列条件：①f（x）在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]
，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]。那么把
（x∈D）称为闭函数。

（1）求闭函数y＝－x 3符合条件②的区间[a，b]；

（2）判断函数
是否为闭函数？并说明理由。

（3）若
是闭函数，求实数k的取值范围。

21. （本小题满分14分）已知函数f（x）＝
（0

（1）是否存在点M（a，b），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）定义
，其中
，求
；

（3）在（2）的条件下，令
，若不等式
对
且n≥2恒成立，求实数m的取值范围.



8. D

解析：圆x2＋y2＋2y＝0的圆心为（0，－1），半径为r＝1，因为直线l1∥l2，所以，设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，由题意得

所以，直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0，故选D。

9. A

解析：画出不等式的不面区域，由图可知，目标函数过A点时，取得最大值，A点坐标为（4，6），所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6

，所以

10. B

解析：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键，当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可。

若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有一个点（6，6），这时有2×5＋1＝11；

若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4；

∴共有11＋4＝15个，故选B。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

16. 解：（1）由
，得

，

（2）由正弦定理，有

故向量
在
方向上的投影为

17. （1）解：由已知得

由于
是正项数列，所以

于是
，

当
时，

综上，数列
的通项
＝

（2）证明：当
时，由

得

18.

解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为
。

∴应从A、B、C、D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5

（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有
种，来自同一所中学的取法共有

。

答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为
。

（3）由（1）知，50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10。

依题意得，
的可能取值为0，1，2，

∴
的分布列为：

0

1

2



P











19.

解：（1）直线l的方程可化为
，

于是直线l的斜率
。

因为
，

所以
，当且仅当
时等号成立。

所以直线l的斜率k的取值范围是
。 （6分）

（2）不能。 （7分）

由（1）知直线l的方程为：
，其中
。

圆C的方程可化为
，

所以圆C的圆心为C（4，－2），半径r＝2。

于是圆心C到直线l的距离

由
，得
，即
。

所以若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于
。

故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为
的两段弧。 （12分）

20. （1）由
在[a，b]上为减函数，得
，

可得a＝－1，b ＝1，∴所求区间是[－1，1]。 （3分）

（2）

可见在
时，
和
都不恒成立，

可得
在
不是增函数也不是减函数，所以
不是闭函数。（6分）

（3）
在定义域
上递增

设函数符合条件②的区间为[a，b]，则
，故a，b是方程
的两个实根。

（方法一）命题等价于
有两个不等实根。 （10分）

当
时，
解得
，
；（12分）

当
时，
，这时，k无解。 （13分）

所以k的取值范围是
(14分)

（方法二）

命题等价于
的图像与
的图像有两个公共点。（10分）

当
与
图像相切时，

令
得
，代入
得
，即切点为

此时

当
过点（－2，0）时

由图可知
，所以k的取值范围是

21. （1）假设存在点M（a，b），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上，则函数y＝f（x）图像的对称中心为M（a，b）。

由
，得
，

即
对
恒成立，所以
解得

所以存在点M（1，1），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上。

（2）由（1）得
。

令
，则
。

因为
①，

所以
②，

由①＋②得
，所以

所以
。

（3）由（2）得

，所以

因为当
且
时，
。

所以当
且
时，不等式
恒成立

设
，则
。

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增；

因为
，所以
，

所以当
且
时，
。

由
，得
，解得
。

所以实数m的取值范围是
。