江西省吉安一中2013－2014学年上学期高三第二次段考

数学试卷（文科）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分。）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 复数
的虚部记作
，则

A.
B.
C.
D.

2. 函数
的定义域是（ ）

A. （0，1） B. [0，1） C. （0，1] D. [0，1]

3. 已知等差数列
满足
，则它的前10项和
（ ）

A. 85 B. 135 C. 95 D. 23

4. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中，体重在[56.5，64.5]的学生人数是（ ）

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

5. 不等式
的解集是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 给出下列四个结论：

①若命题
，则
；

②“
”是“
”的充分而不必要条件；

③命题“若
，则方程
＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程
＝0没有实数根，则
”；0

④若
，
，
，则
的最小值为1。

其中正确结论的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 函数
的图像大致为（ ）

8. 已知直线
与直线
：
平行且与圆：
相切，则直线
的方程是（ ）

A.
B.
或

C.
B.
或

9. 设x，y满足约束条件
，若目标函数
（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是（ ）

A. （0，
] B. （0，
） C. [
，
） D. （0，
）

10. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合
※
中的元素个数是（ ）

A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 若
，则
。

12. 如下图，在四边形ABCD中，

，E为BC的中点，且
＝x﹒
＋
，则3x－2y＝ 。

13. 已知函数
，则函数f（x）过点（2，1）的切线方程为 。

14. 在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为
，某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）＝3000x－20x2，C（x）＝600x＋4000（x∈N*），现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润＝收入－成本），则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 元。

15. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A＝
，B＝
，C＝
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，k＝1，2，…，n，则称M为“完并集合”。

（1）若M＝｛1，x，3，4，5，6｝为“完并集合”，则x的一个可能值为 。（写出一个即可）

（2）对于“完并集会” M＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，l2｝，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是 。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

16. （本小题满分12分），在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
，向量
，且

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a＝9，b＝5，求向量
在
方向上的投影。

17. （本小题满分12分）正项数列
的前n项和Sn满足：

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，数列
的前n项和为Tn，

证明：对于任意的n∈N*且n≥2，都有

18. （本小题满分12分）随着工业化的发展，环境污染愈来愈严重，某市环保部门随即抽取60名市民对本市空气质量满意度打分，把数据分[40，50），[50，60），…，[90，100]六段后得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



[40，50）

6

0.10



[50，60）

9

0.15



[60，70）

9

0.15



[70，80）

z

x



[80，90）

y

0.25



[90，100]

3

0.05



合计

60

1.00



（1）求表中数据x，y，z的值；

（2）用分层抽样的方法在分数[60，80）的市民中抽取容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取1人在分数段[70，80）的概率。

19. （本小题满分12分）如图，已知椭圆
的离心率为
，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：
，设圆T与椭圆C交于点M与点N。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于点R、S，O为坐标原点，求证：
为定值。

20. （本小题满分13分）对于函数
（x∈D，D为函数的定义域），若同时满足下列条件：①f（x）在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]
，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]。那么把
（x∈D）称为闭函数。

（1）求闭函数y＝－x 3符合条件②的区间[a，b]；

（2）判断函数
是否为闭函数？并说明理由。

（3）若
是闭函数，求实数k的取值范围。

21. （本小题满分14分）已知函数f（x）＝
（0

（1）是否存在点M（a，b），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）定义
，其中
，求
；

（3）在（2）的条件下，令
，若不等式
对
且n≥2恒成立，求实数m的取值范围.



8. D

解析：圆x2＋y2＋2y＝0的圆心为（0，－1），半径为r＝1，因为直线l1∥l2，所以，设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，由题意得

所以，直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0，故选D。

9. A

解析：画出不等式的不面区域，由图可知，目标函数过A点时，取得最大值，A点坐标为（4，6），所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6

，所以

10. B

解析：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键，当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可。

若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有一个点（6，6），这时有2×5＋1＝11；

若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4；

∴共有11＋4＝15个，故选B。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

16. 解：（1）由
，得

，

（2）由正弦定理，有

故向量
在
方向上的投影为

17. （1）解：由已知得

由于
是正项数列，所以

于是
，

当
时，

综上，数列
的通项
＝

（2）证明：当
时，由

得

18.

解：（1）x＝1－0.1－0.15－0.15－0.25－0.05＝0.3

z＝60x＝18

y＝60×0.25＝15

（2）∵[60，70）共9人，[70，80）共18人。

∴分层抽取的6人中[60，70）的2人，[70，80）的4人，分别编号a，b，1，2，3，4

设事件A为“从中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）”。

∵从6人中任取两人的基本事件有15种：（ab）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）（b3）（b4）（12）（13）（14）（23）（24）（34）

至多有1人在分数段[70，80）的基本事件有9种：（ab）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）（b3）（b4）

∴

19. 解：（1）依题意，得
，
，
；

故椭圆C的方程为

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设
，
，不妨设
。

由于点M在椭圆C上，所以
（*）

由已知T（－2，0），则
，

∴

＝

由于－2＜x1＜2，故当
时，
取得最小值为
。

由（*）式，
，故
，又点M在圆T上，代入圆的方程得到
。

故圆T的方程为：

方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，－sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（－2，0），则

=（2cosθ+2）2－sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=5

故当
时，
取得最小值为
，此时
，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到
。故圆T的方程为：
。

（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：
，

令y=0，得
，同理

故
（**）

又点M与点P在椭圆上，故
，
，

代入（**）式，

得：

所以
=4为定值。

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，－sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cos，sin），其中sin≠±sinθ。

则直线MP的方程为：
，

令y=0，得
，

同理：

，

故

。

所以
=4为定值。

20. （1）由
在[a，b]上为减函数，得
，

可得a＝－1，b＝1，∴所求区间是[－1，1]。 （3分）

（2）

可见在
时，
和
都不恒成立，

可得
在
不是增函数也不是减函数，所以
不是闭函数。（6分）

（3）
在定义域
上递增

设函数符合条件②的区间为[a，b]，则
，故a，b是方程
的两个实根。

（方法一）命题等价于
有两个不等实根。 （10分）

当
时，
解得
，
；（12分）

当
时，
，这时，k无解。 （13分）

所以k的取值范围是
(14分)

（方法二）

命题等价于
的图像与
的图像有两个公共点。（10分）

当
与
图像相切时，

令
得
，代入
得
，即切点为

此时

当
过点（－2，0）时

由图可知
，所以k的取值范围是

21. （1）假设存在点M（a，b），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上，则函数y＝f（x）图像的对称中心为M（a，b）。

由
，得
，

即
对
恒成立，所以
解得

所以存在点M（1，1），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上。

（2）由（1）得
。

令
，则
。

因为
①，

所以
②，

由①＋②得
，所以

所以
。

（3）由（2）得