徐州市2014届高三年级第一次质量检测

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：

1． 2． 3．
4．
5．
6．
7．

8．
　 9． 10．
11．
12．
13．
14．

二、解答题：

15．（1）由
可知，
，所以
，…………………2分

所以
． …………………………………………6分（2）由
可得，

，

即
， ① ……………………………………………………10分

又
，且
②，由①②可解得，
，…………12分

所以
．　 ……………………14分

16．（1）在
中，、分别是
、
的中点，所以
，

又
平面
，
平面
，所以
平面
．………………6分

（2）在平面
内过点作
，垂足为．因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
， ……………8分

又
平面
，所以
，………………………………………………10分

又
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
， ……………………………………………………………12分

又
平面
，所以
．………………………………………………14分

17．(1)设扇环的圆心角为(，则
，所以
，…………4分

(2) 花坛的面积为
．……………7分

装饰总费用为
， ………………………………9分

所以花坛的面积与装饰总费用的比
， …………11分

令
，则
，当且仅当t=18时取等号，此时
．

答：当x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………14分

(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)

18．(1)线段
的垂直平分线方程为
，线段
的垂直平分线方程为
，

所以外接圆圆心
，半径
，
的方程为
．4分

设圆心到直线的距离为，因为直线被
截得的弦长为2，

所以
．

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即
为所求；…………………………6分

当直线不垂直于轴时，设直线方程为
，则
，解得
，

综上，直线的方程为
或
． ……………………………………8分

(2) 直线
的方程为
，设
，

因为点是点，的中点，所以
，又
都在半径为的
上，

所以
即
……………10分

因为该关于
的方程组有解，即以
为圆心为半径的圆与以
为圆心
为半径的圆有公共点，所以
， …12分

又
，所以
对
]成立．

而
在[0，1]上的值域为[，10]，故
且
． 15分

又线段
与圆无公共点，所以
对
成立，即
.故
的半径的取值范围为
． ……………………………16分

(注：本题方法较多，可参考上述评分标准给分．如果没有必要的说理过程，但答案正确的，可酌情扣3～4分)

19．(1)当
时，
. ……………………………2分

令f ((x)<0，解得
，f(x)的单调减区间为
． …………………4分

(2)
，

由题意知
消去，得
有唯一解．……6分

令
，则
，

以
在区间
，
上是增函数，在
上是减函数，………8分

又
，
，

故实数的取值范围是
． ……………………………………10分

(3) 设
，则点处切线方程为
，

与曲线：
联立方程组，得
，即
，所以点的横坐标
． ……………………12分

由题意知，
，
，

若存在常数，使得
，则
，

即常数，使得
，

所以常数，使得
解得常数，使得
，
． ………15分

故
时，存在常数
，使
；
时，不存在常数，使
．16分

20．(1)（ⅰ）因为
，所以
，

即
，又
，所以
， ……………………2分

又因为数列
成等差数列，所以
，即
，解得
，

所以
； ……………………4分

（ⅱ）因为
，所以
，其前项和
，

又因为
， …………………………………5分

所以其前项和
，所以
， ……7分

当
或
时，
；当
或
时，
；

当
时，
．…………………………………………………………9分

（2）由
知
，

两式作差，得
， ……………………10分

所以
,

再作差得
，………………………………………………11分

所以，当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；……14分

因为对任意
，
恒成立，所以
且
，

所以
，解得，
，

故实数的取值范围为
．…………………………………………………16分

徐州市2014届高三年级第一次质量检测

数学Ⅱ参考答案与评分标准

21．

A．由圆
与边
相切于点，得
，因为
，得
，所以，，，四点共圆． 所以
． ……………………5分

又
，

所以
，由
，得
．……10分

B．设曲线

上任意一点
，在矩阵
所对应的变换作用下得到点
，则
，即
． ………………………………………5分

又点
在曲线
上，所以
，

则
为曲线
的方程．又曲线
的方程为
，

故
，
，因为
，所以
． …………………………10分

C．
，
，

， 即
，
． ……………………………………………………4分

直线上的点向圆C 引切线长是

，

所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是
．…………………………10分

D．证法一：因为
均为正数，由均值不等式得
， ………2分

，所以
．………………………………5分

故
．

又3
，所以原不等式成立． ………………10分

证法二：因为
均为正数，由基本不等式得，

，
，
．

所以
． ……………………………………………………2分

同理
， ……………………………………………5分

故
．

所以原不等式成立． …………………………………………………………………10分

22. (1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件
，则

所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为
．…4分

(2)随机变量的所有可能取值为１，２，３.

，

．

１

２

３













所以的分布列为

…………………8分

数学期望
．……………………………………10分

23．(1)设
，则
，
，
，

由
，得
，化简得
.

故动点的轨迹的方程
. ………………………………………………5分

(2)直线方程为
，设
，
，
．

过点
的切线方程设为
，代入
，

得
，由
，得
，

所以过点
的切线方程为
， ………………………………………7分

同理过点的切线方程为
．

所以直线MN的方程为
， …………………………………………9分

又
//，所以
，
，而
，故点
的坐标为
． 10分