高三年级期末质量检测试题答案（侧理）

数学 2014.1

一、选择题

二.填空题:

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.
…………………………………2分

(1)由于直线
是函数
图像的一条对称轴，

所以
……………………………………………3分

因此
………………………4分

又
，所以
. …………………………6分

(2)由（1）知

由题意可得
，即
……………………8分

由
得
……………9分

又
所以
…………………………………10分

所以

………………………12分

18.解：（1）记事件=“小王某天售出超过
个现烤面包”，

用频率估计概率可知：
.

小王某天售出超过
个现烤面包的概率为
. …………………………………3分

（2）设在最近的
天中售出超过
个的天数为
，

则
.记事件=“小王增加订购量”

，

所以小王增加订购量的概率为
. ………………………………………………7分

（3）若小王每天订购
个现烤面包，

设其一天的利润为元， =80，95，110，125，140. 其分布列为

利润

80

95

110

125

140



概率P

0.1

0.1

0.1

0.2

0.5





小王每天出售该现烤面包所获利润数学期望123.5元. ………………………12分

19. 证明：(1) 因为
是正三角形，
是
中点，

所以
,即
……………1分

又因为
，
平面
，

又
，所以
平面

又
平面
，所以
……………4分

（2）在正三角形
中，

在
中，因为
为
中点，
，所以

，所以
，所以
……………6分

在等腰直角三角形
中，
，
，

所以
，
，所以
………………7分

又
平面
，
平面
，所以
平面
……………8分

（3）因为
，

所以
，分别以
为轴, 轴,轴建立如图的空间直角坐标系，

所以

由（Ⅱ）可知，

为平面
的法向量 ………………9分

，

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
，

令
则平面
的一个法向量为
……………………11分

设二面角
的大小为， 则

所以二面角
余弦值为
………………………………………………12分

20.解：(1)
,

………………3分

又由题知：令
，则
,


………………5分

若
，则
，
，所以
恒成立

若
,当
,
不成立,所以
……………………………………6分

（1）由题知将数列
中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列
中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是
，
公比均是
…………9分

…………………………………………12分

21. （1）
………………2分

上是减函数. ………………………………………………………3分

（2）

即
的最小值大于
.

则

又

所以

当
时，

所以

故正整数
的最大值是
. ……………………………………………………12分

22. 解：（1）抛物线的焦点为
，
.所以抛物线的方程为
…………3分

（2）设
由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）

当
垂直于x轴时，由抛物线的对称性知

当
不垂直于x轴时，设
，

由

以
……………………………………………………………………………8分

(3)设存在直线：
满足题意，则圆心
，过
作直线
的垂线，垂足为.设直线与圆的一个交点为
,则
.即

当
时，
此时直线被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值
。因此存在直线满足题意
.…………………………………………………………………14分