高三调研考试理科数学参考答案

一选择题：CCBAA CCABD BD

二.填空题：13、8; 14、
; 15、
； 16、111

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、解：（1）因为

....................................................... 2分

所以
，故
的最小正周期为.............3分

函数的单调增区间为
................5分

（2）因为
.......................... 6 分

所以当
，即
时
有最大值
.............8分

当
，即
时，
有最小值-1 .............10分

18．解：（1）
，
，两式相减、整理得

． ................................................................................3分

又
，
，

． (
) ………………………………………………5分

（2）
，

，

．.........................................................8分

两式相减得：
，

，

． ………………………………………………………12分

19.（1）证明：∵△PMB为正三角形，

且D为PB的中点，∴MD⊥PB．

又∵M为AB的中点，D为PB的中点，

∴MD//AP，∴AP⊥PB．…………………3分

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，
，

∴BC⊥平面APC ……………………………………6分

（2）法一：建立空间直角坐标系如图，则
，
，

过点C做CH⊥PB垂足为H，在Rt△PBC中，由射影定理或根据三角形相似可得H

即点C的坐标为
……………………………………………9分

所以
，

∴设平面BMC的法向量
，

则由
得可取

∴仿上可得平面PMC的一个法向量

∴
＝

故所求的二面角余弦值的绝对值为
…………………………12分

法二：建立空间直角坐标系如图，则
，
，
,

因为
为
的中点，所以
，

，

………………………9分

∴设平面BMC的法向量

则由
得可取
,

∴仿上可得平面PMC的一个法向量

∴

故所求的二面角余弦值的绝对值为
…………………………12

法三：如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

由题意：PB=BM=5,PC=4,AP=5
,D

……………………..8分

平面PMC 、平面BMC均不与坐标平面xoy平行或重合

不妨设
，
分别为平面PMC 、平面BMC的法向量

……………….10分

故所求的二面角余弦值的绝对值为
…………………………12分

20. 解：（1）X的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）........................2分

其概率分布列如下

X

10

30

50

70

90



P













 ..................6分

（2）甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为

，
，
；………………8分

，
，
……………10分

所以＝
+
+
＝
＝

即甲、乙二人候车时间相等的概率为
………………12分

21. 解：（1）易得
，又

所以
，
.故方程为
..................................... 4分

（2）由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB方程：
.....................5分

显然，当k=0时，|AB|=2
与已知不符，所以k
..................................... 6分

设

由
得

，
.....................................8分

∵
，∴
，∴

∴
，即
....................................................10分

又因为
，且k
，即t

所以

∵点在椭圆上，∴
，又
.

所以=
…………………........................................................................……12分