2013～2014学年度上学期五调考试

高三年级数学（文科）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．设i是虚数单位，则复数 的虚部是(　　)

A.　　　 　 B．－ C. 　　　　　D．－

2.已知命题
，命题
，则( 　 )

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,

该几何体的体积为（ 　）
．

A．
B．

C．
D.

4．以下四个命题：其中真命题为(　　)

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，

这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程
＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加

0.2个单位；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握

程度越大．

A．①④ 　B．②④ C．①③ 　　D．②③

5．程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入(　　)

A．K＜10?　 B．K≤10? C．K＜9?　 D．K≤11?

6.已知
则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知菱形ABCD的边长为4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知双曲线C1：
(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2：
(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）

A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y

9. 已知an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为(　　)

A．1024 B．2003 C．2026 D．2048

10. 能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的

“和谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是（　　）

A．
B．
C．
D．

11.已知向量a，b，c满足
，
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的两个极值点分别为
，且
，
，点
表示的平面区域为
，若函数
的图像上存在区域
内的点，则实数
的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的

茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 .

14.在
中，已知内角
，边
，

则
的面积
的最大值为 ．

15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点
在正方体的表面上

运动，则总能使MP 与BN 垂直的点
所构成的轨迹的周长等于 ．

16.已知数列
满足
，则该数列的通项公式
_________．

三、解答题（共70分。解答应写在答卷纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程）

17. （本小题满分12分）函数
（其中
）的图象如图所示，

把函数
的图像向右平移
个单位，再向下平移1个单位，得到函数
的图像.

（1）若直线
与函数
图像在
时有两个公共点，其横坐标分别为
，

求
的值；

（2）已知
内角
的对边分别为
，且

.若向量
与
共线，求
的值．

18. （本小题满分12分）2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.

（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？

（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

0.010

0.005

0.001





6.635

7.879

10.828



附：

19. （本小题满分12分）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC

边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求棱锥E-DFC的体积；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出
的值；

如果不存在，请说明理由.

20. （本小题满分12分）已知函数
．

（1）当
时，函数
的图像在点
处的切线方程；

（2）当
时，解不等式
；

（3）当
时,对
,直线
的图像下方.求整数
的最大值.

21. （本小题满分12分）已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，

且椭圆C经过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

选修4－1：几何证明选讲

22．（本小题满分10分）

已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，

过点
作
于
，交圆于点
，
．

（Ⅰ）求证：
平分
；

（Ⅱ）求
的长．

选修4 - 4：坐标系与参数方程选讲

23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为
（
为参数）。

以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点
，直线l的极坐标方程

为
.

（1）判断点
与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求
的值.

选修4 - 5：不等式选讲

24. （本小题满分10分）已知函数

（1）解不等式

（2）若
.求证：
.

2013～2014学年度上学期五调考试 高三年级数学（文科）试卷 参考答案

BCCDA CADCD BB13. 54 14.
15.
16.

17. 解析：（1）由函数
的图象，
，得
，

又
，所以
……………………2分

由图像变换，得
……………………4分

由函数图像的对称性，有
……………………6分

（Ⅱ）∵
， 即

∵
，
，

∴
，∴
． ……………………7分

∵
共线，∴
．

由正弦定理
， 得
①……………………9分

∵
，由余弦定理，得
， ②…………………11分

解方程组①②，得
． ……………………12分

18. 解：（1）由题意可得列联表：

不常吃零食

常吃零食

总计



不患龋齿

60

100

160



患龋齿

140

500

640



总计

200

600

800



因为
。

所以能在犯错率不超过0.001的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。

（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组

1

2

3

4

5

6



收集数据

甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

丙丁



处理数据

丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

甲乙



分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，

所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是
。

19. 解：（1）AB∥平面DEF，理由如下：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB?平面DEF，EF?平面DEF．∴AB∥平面DEF．

?

（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD，EM=1，

?

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC/3， 过P作PQ⊥CD于Q，∵AD⊥平面BCD ∴PQ⊥平面ACD∴DQ=DC/3=2√3/3， ∴tan∠DAQ=DQ/AD═（2√3/3）/2=√3/3，

∴∠DAQ=30° 在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE．AQ∩AP=A∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE．

此时BP=BC/3， ∴BP/BC=1/3．

20. 解：（1）
，当
时．切线
…2分

（2）
……………4分

（3）当
时,直线
的图像下方，得

问题等价于
对任意
恒成立. ……………5分

当
时，令
，

令
，

，

故
在
上是增函数

由于

所以存在
，使得
．

则
；
，

即
；

知
在
递减，
递增

…………10分

又