时间：120分钟 满分：150分 命题人：吴维龙

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合要求的）

1、已知集合
，若
，则
的取值范围是（　）

A．
B．
C．
D．

2．若集合
则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.已知数列满足：a1＝1，an＋1＝，

(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ) ，

b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) (　　)

A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3

5.已知向量
满足
,且
,则
在
方向的投影为（　）

A．3 B．
. C．
D．

6.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点(E为靠近点C的三等分点),则
等于 （　　）

7.已知M是△ABC内的一点，且
·
＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是(　　)

A．20 B．18 C．16 D．19

8.已知
、
是两条不同的直线,、
是两个不同的平面,给出下列命题:其中正确命题的个数是 ( )．

①若
,则
;②若
,且
则
;

③若

,则
;④若
,
,且
,则
.

A．1 B．2 C．3 D．4

9.如图所示为函数
的部分图象,其中、两点之间的距离为5,那么
（　　）

A．
B．
C．
D．

10、已知函数
,当x=a时,
取得最小值,则在直角坐标系中,函数
的大致图象为（ ）

11.已知正四棱柱
中
,则
与
所成角的正弦值

是（　　）

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在R上的函数
对任意的都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. ）

13．复数
在复平面内对应的点到原点的距离为 。

14．已知x，y满足条件

(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝______.

15．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，

PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是______．

16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的

中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值

为__________.

三、解答题（共6个题， 共70分）

17．（本题10分）设函数
,其中
.

(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若不等式
的解集为
,求a的值.

18．（本题12分）如图，四棱锥
中，
，

∥
，
，
．

(Ⅰ）求证：
；

(Ⅱ）线段
上是否存在点，使
// 平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

19．（本题12分）已知函数

(1)当x∈
时,求函数f(x)的最小值和最大值.

(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=
f(C)=0,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.

20. （本题12分）数列
的前项和为
，且
是
和
的等差中项，等差数列
满足
，
.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，数列
的前项和为
，证明：
.

21．（本题12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求点B到平面MAC的距离．

22（本题12分）已知函数

(1)求函数
的最小值;

(2)若
≥0对任意的
恒成立,求实数
的值;

(3)在(2)的条件下,

证明:

高三月考四理科数学答案 2013.11

17.【答案】解:(Ⅰ)当
时,
可化为
.

由此可得
或
.

故不等式
的解集为
或
. -----5分

(?Ⅱ) 由
得

此不等式化为不等式组

或
即
或

因为
,所以不等式组的解集为

由题设可得
=
,故
---10分

-----6分

(2)f(C)=sin(2C-
)-1=0,则sin(2C-
)=1,

∵0

∴2C-
=
,C=
,

∵向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,

由正弦定理得
①

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
, 即a2+b2-ab=3 ②

由①②,解得a=1,b=2. -----12分

（2）
7分

∴
9分

∵
,∴
10分

∴数列
是一个递增数列 ∴
.

综上所述，
12分

21、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，

又BC与AB交于点B∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（3分）

（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，
．

在Rt△AMN中，
．

在Rt△NCH中，
．

在Rt△MNH中，∵
，∴
．

故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为
．（8分）

（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为
．∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为
．（12）

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（3分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则
．
．

∵
，

且z＞0，∴
，得z=1，∴
．

设平面MAC的一个法向量为
=（x，y，1），则由

得
得
∴
．

平面ABC的一个法向量为
．
．

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为
．（8分）

（3）点B到平面MAC的距离
．（12分）

(3)由(2)知,对任意实数均有
,即
.

令

,则
.

∴
∴

--------12分