2013年12月

命题人：吴川 唐建明

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
.集合
，
，则
(　　)

A.
B.
C.
D.
2．已知命题
；命题
若
，则
．下列命题是真命题的是(　　)

A.
B.
C.
D.

3．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)

A. 0个　　 　 B. 1个 C. 2个 D. 3个

4．若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)．

A. a2＋b2＞2ab B. a＋b≥2

C.
D.

5．已知四棱锥
的三视图如图，

则四棱锥
的全面积为(　　)

A.
B.

C. 5 D. 4

6. 椭圆
的左、右顶点分别为
，左、右焦点分别为
,若
成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)

A.
　 　 B.
C.
D.

7．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所有点的(　　)

A. 横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）,所得图象再向左平移
个单位长度.

B. 横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），所得图象再向右平移
个单位长度.

C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移
个单位长度.

D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移
个单位长度.

8．将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切

9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥

A－BCD中，下列命题正确的是(　　)

A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ADC⊥平面BDC

C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ADC⊥平面ABC

10．已知为常数，函数
有两个极值点
，则(　　)

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
。

12．等比数列
的前项和为
，且
成等差数列。若
，则
。

13．已知
是定义在上的奇函数.当
时,
,则不等式
的解集用区间表示为 。

14．已知实数
满足
，则
的最小值是______。

15．若椭圆
和
是焦点相同且
的两个椭圆，有以下几个命题：①
一定没有公共点；②
；③
；④
，其中，所有真命题的序号为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16.(本题满分12分)已知：等差数列{an}中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差d < 0.

（I）求数列{an}的通项公式an；

（II）求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.

17.(本题满分12分)已知函数
，
．

（I）若
，求函数
的最大值和最小值，并写出相应的x的值；

（II）设
的内角、、
的对边分别为、
、，满足
，
且
，求、
的值.

18.(本题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（I）求证：EF∥平面BDC1；

（II）求二面角E－BC1－D的余弦值．

19.(本题满分12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

（I）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

（II）求过P点的圆C的弦的中点M的轨迹方程．

20.(本题满分13分)设椭圆E:
=1（
）的离心率为
，且过点M（2，
）,
为坐标原点.

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。

21.(本题满分14分)已知函数
．

（I）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（II）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（III）试证明：
.

绵阳南山中学2013年秋季高2011级12月月考

数学试题（理科）答案

一、选择题：

1.D 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.D

二、填空题：

11.
12.15 13.
14.0 15.①③④

三、解答题答案：

16. 解：（1）
为等差数列，

解得
（因d<0，舍去）

.............................................................................6分

17.解（Ⅰ）
…….............3分

令

。

当
即
时，

当
即
时，
； ……6分

（Ⅱ）
，则
， ……............7分

,
,所以
，

所以
，
…….....................................................................9分

因为
，所以由正弦定理得
……..................................10分

由余弦定理得
，即
……...........11分

空间直角坐标系，则
，
，
，
，

∴
，
，
．

设面BC1D的一个法向量为
，面BC1E的一个法向量为
，

则由
得
取
，

又由
得
取
，

则
，

故二面角E－BC1－D的余弦值为
．.........................................................12分

　

20、（13分）设椭圆E:
=1（
）过M（2，
） N(
,1)两点，
为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在，说明理由。

解:（1）因为椭圆E:
（a,b>0）过M（2，
） ，N(
,1)两点,

所以
解得
所以
椭圆E的方程为
.............4分　

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
,设该圆的切线方程为
解方程组
得
,即
,

则△=
,即

,
....7分　

要使
,需使
,即
,

所以
,所以
又
,所以
,

所以
,即
或
,....................................................9分　

因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
,
,
,

所求的圆为
,................................................................................11分　

此时圆的切线
都满足
或
,

而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
或
满足
,............................................................12分　

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
...................................................................................... .............13分　

21．（本小题满分14分）已知函数
．

（Ⅰ）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（Ⅲ）试证明：
.

21、解：（Ⅰ）由题
…………...........2分

故
在区间
上是减函数;…………3分

（Ⅱ）当
时，
恒成立，即
在
上恒成立，取
，则
，…………………..5分

再取
则

故
在
上单调递增，

而
，……………..7分

故
在
上存在唯一实数根
，

故
时，
时，

故
故
…………….8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令
，………………10分

又

……………………............................12分

即：
……………….............14分