考试时间：120分钟 总分：150分

命题人：张世永 审题人：杜利超

一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）

1．已知全集U=R，集合A=
，B=
，则A∪B=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．“函数
在区间
上存在零点”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

4．定义运算
，则函数
的最小正周期为（ ）

A．4π B．2π C．π D．

5．函数
在区间
上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
只有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
∪

C．
D．
∪

7．ΔABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，A、B、C成等差数列，则角C=（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

8. 若函数
，其定义域为
，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知定义在R上的函数
满足
，
，且在区间
上是减函数．若方程
在区间
上有两个不同的根，则这两根之和为（ ）

A．±8 B．±4 C．±6 D．±2

10．已知函数
，其中
，若对任意的非零实数
，存在唯一的非零实数
，使得
成立，则k的最小值为（ ）

A．
B．5 C．6 D．8

二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。）

11．在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点

，则

12．ΔABC中，B=120o，AC=3，AB=
，则ΔABC的面积为 ．

13．曲线
在
处的切线方程为 ．

③若
是奇函数且是
的周期函数，则
的图形关于直线
对称；

④若
关于直线
对称，且
，则
是奇函数；

⑤若
关于点
对称，关于直线
对称，则
是
的周期函数．

其中正确命题的序号为 ．

三.解答题（16-19每小题12分，20题13分,21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．已知函数
.

（1）当
时，画出函数
的简图，并指出
的单调递减区间；

（2）若函数
有4个零点，求a的取值范围．

17．已知向量
，
，
，点A、B为函数
的相邻两个零点，AB=π.

（1）求的值；

（2）若
，
，求
的值；

（3）求
在区间
上的单调递减区间.

18．已知m为常数，函数
为奇函数.

（1）求m的值；

（2）若
，试判断
的单调性（不需证明）；

（3）若
，存在
，使
，求实数k的最大值．

19．ΔABC中，
，
.

（1）求证：
;

（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，
，求c和ΔABC的面积.

20．已知函数
.

（1）若函数
为奇函数，求a的值；

（2）若
，直线
都不是曲线
的切线，求k的取值范围；

（3）若
，求
在区间
上的最大值．

21．设
，
.

（1）请写出
的表达式（不需证明）；

成都七中2013-2014学年上期

2014届半期考试数学（理科）试卷(参考答案)

命题人：张世永 审题人：杜利超

一．选择题

ABCCD BDABD

三.解答题

16.解：（1）当
时，
,

由图可知，
的单调递减区间为
和
………………6分

（2）由
，得
,

∴曲线
与直线
有4个不同交点,

∴根据(1)中图像得
………………12分

17.解：（1）

,………..3分

由
，得
，则
……………..4分

（2）由（1）得
，则
.

由
，得
，……………..6分

………………8分

（3）
,

,

∴
,………………10分

∴
（
）,

即
（
）,

又
,∴
在区间
上的单调递减区间为

，
.（12分）

18.解：（1）由
，得
,

∴
，即
,

∴
…………………………4分

19.（1）证明：由
，得
……….2分

由
，得
,

∴
,

∴
,

∴
,

∴
…………………6分

（2）解:由（1）得
，由
，得
.

由正弦定理得
,

由
得
，从而
……10分

∴
………………..12分

20.解：（1）因为
，

所以
……………..2分

由二次函数奇偶性的定义，因为
为奇函数，

所以
为偶函数，即
，

所以
………………4分

（2）若
，直线
都不是曲线
的切线，即k不在导函数值域范围内.

因为
，

所以
对
成立，

只要
的最小值大于k即可，所以k的范围为
…………7分

（3）因为
，所以
，

当
时，
对
成立，

所以当
时，
取得最大值
;

当
时，在
，
，
单调递增，在
时，
，
单调递减，

所以当
时，
取得最大值
;

当
时，在
，
，
单调递减，

所以当
时，
取得最大值
;………………….10分

当
时，在
，
，
单调递减，在
，
，
单调递增,

又
，
，

当
时，
在
取得最大值
;

当
时，
在
取得最大值
；

当
时，
在
处都取得最大值0．

21.解：（1）根据
,
,
,

猜测出
的表达式
……………….4分

（2）要求
，即求
的极小值点
，

先求出
，

因为
时,
；当
时，
.

所以，当
时，
取得极小值
，

即
………………………….8分

（3）配方法可以求出
，

又因为
，所以
，….10分

问题转化为求
的最小值

解法1（构造函数）：

令
，

则
，又
在区间
上单调递增，

所以
．

又因为
，
，

所以存在
使得
．

又有
在区间
上单调递增，所以
时，
；

当
时，
，

即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

所以
．

又由于
，
，