仙游一中2014届高三总复习12月份教学检查考试

数 学 试 卷 （理）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．设
是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为 （ ）

A．
B。
C。
D。

2．函数
在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 ( )

A．
B．
C．
D．

3．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（　　）A．
B．
C．
D．

4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
，则点P一定为三角形的 （ ）

A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点

5．在棱长为
的正方体
中，
，
分别为线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．把边长为
的正方形
沿对角线
折起，使得平面

平面
，形成三棱锥
的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）

A．
B 。
C。
D。

7．已知函数
，

，若函数
有唯一零点
，函数
有唯一零点
，则有（ ）

A．
B。

C．
D。

8．已知定义在
上的函数
满足下列三个条件：①对任意的
都有
，②对于任意的
，都有
，

③
的图象关于
轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )

A．
B．

C．
D．

9．已知
，把数列
的各项排列成如下的三角形状，

记
表示第
行的第
个数，则

（ ）

A．
B。
C。
D。

10．取棱长为
的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为
；⑤体积为
。 以上结论正确的是 ( )A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．若
，
，
，则
的值为

12．如图，半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
、
的任意一点，若
为半径
上的动点，则
的最小值为_________。

13．设
是等比数列
的前n项和，若
，
，
成等差数列，

则公比
等于 ____________________。

14．底面边长为
、侧棱长为
的正四棱柱
的
个顶点都在球
的表面上，
是侧棱
的中点，
是正方形
的中心，则直线
被球
所截得的线段长为 ．

15．设
是已知平面
上所有向量的集合，对于映射
，记
的象为
。若映射
满足：对所有
及任意实数
都有
，则
称为平面
上的线性变换。现有下列命题：

①设
是平面
上的线性变换，则
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

②对
，则
是平面
上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

③若
是平面
上的单位向量，对
，则
是平面
上的线性变换；

④设
是平面
上的线性变换，
，若
共线，则
也共线。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分13分）

已知
的角A、B、C所对的边分别是
，设向量
,
,
（Ⅰ）若
∥
，求证：
为等腰三角形；

（Ⅱ）若
⊥
，边长
，
，求
的面积.

17. （本小题满分13分）已知
且
；

：集合
，且
．

若
∨
为真命题，
∧
为假命题，求实数
的取值范围.

18．（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

19、（本小题满分13分）若由数列
生成的数列
满足对任意的
其中
，则称数列
为“Z数列”。

（I）在数列
中，已知
，试判断数列
是否为“Z数列”；

（II）若数列
是“Z数列”，

（III）若数列
是“Z数列”，设
求证

20、 （本小题满分14分） 已知函数
，
，
图象与
轴异于原点的交点M处的切线为
，
与
轴的交点N处的切线为
， 并且
与
平行.

（1）求
的值；

（2）已知实数t∈R，求
的取值范围及函数
的最小值；

（3）令
，给定
，对于两个大于1的正数
，存在实数
满足：
，
，并且使得不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请任选2个小题作答，满分14分。

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知
作用后变换为曲线C（如图2）。

（I）求矩阵A；（II）求矩阵A的特征值。

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标平面内，直线l过点
以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为

（I）求圆C的直角坐标方程；

（II）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值。

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

（I）关于x的不等式
的解不是空集，求a的取值范围。

（II）设
的取值范围。

仙游一中2014届高三总复习12月份教学检查考试

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





D



A



A



B



A



D



B



B



A



A



10.解析　由题意可知，正方体的12条棱的中点均为此多面体的顶点，故共有12个顶点，而正方体的每个面上的四条棱的中点连成的小正方形的四条边均是此多面体的棱，故共有24条棱，作图易知共有14个面，表面积为(3＋)a2，体积为a3－8×××3＝a3.

答案　A

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.--------
-------; 12.------
---------

13. - --1/3---------;14.-----------------
-15.----------- ①②③。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共80分）

16. （本小题满分13分）

已知
的角A、B、C所对的边分别是
，设向量
,
,

（Ⅰ）若
∥
，求证：
为等腰三角形；

（Ⅱ）若
⊥
，边长
，
，求
的面积.

证明：(Ⅰ) ∵
∥
， ∴
，由正弦定理可知，

，其中R是
外接圆的半径，

∴
.

因此，
为等腰三角形. …………………6分

（Ⅱ）由题意可知，
，即

由余弦定理可知，
即

，(
舍去)

∴
. …………………13分

17．（本小题满分13分）已知
且
；

：集合
，且
．

若
∨
为真命题，
∧
为假命题，求实数
的取值范围.

解答：若
成立，则
，

即当
时
是真命题； ……………………4分

若
，则方程
有实数根，

由
，解得
，或
，

即当
，或
时
是真命题； ……………………9分

由于
∨
为真命题，
∧
为假命题，∴
与
一真一假，

故知所求
的取值范围是
． ……………………13分

18．（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得
轴和
轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为
，
，

，
，
，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为
，∴
，

显然
与平面
平行，此即证得BF∥平面ACD； ……………………4分

（2）设平面BCE的法向量为
，

则
，且
，

由
，
，

∴
，不妨设
，则
，即
，

∴所求角
满足
，∴
； ……………………9分

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴