日照一中2013-2014学年高三上学期第三次月考

数学理科试题

2013.12

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　)

A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3

2. 若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是(　　)

图1

A．－i 　　　B.I C．－i 　　　D．i

3. 设
为两个不同的平面，
、
为两条不同的直线，且
,有两个命题：
：若
，则
；
：若
，则
；那么

A．“
或
”是假命题 B．“
且
”是真命题

C．“非
或
” 是假命题 D．“非
且
”是真命题

4. 已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(x＋)在(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，则函数g(x)＝loga|x－k|的图象是(　　)

5. 设偶函数
满足
，则不等式
＞0的解集为

A.
＜
或
＞
B.
＜0或
＞

C.
＜0或
＞
D.
＜
或
＞

6．一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)

图2

A. B. C. D.

7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，

则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A．2π B. C．4 D.

8．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为 (　　)

A. B. C. D.

9． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)

A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．充要条件

10．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)

的取值范围是 (　　)

A．[－2,2] B．[，]

C．[，2] D．[，2]

11．项数为n的数列a1，a2，a3，…，an的前k项和为Sk(k＝1,2,3，…，n)，定义为该项数列的“凯森和”，如果项数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“ 凯森和”为1 000，那么项数为100的数列100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为(　　)

A．991 B．1 001 C．1 090 D．1 100

12．设定义在R上的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是

A．x＋x＋x＝14 B．1＋a＋b＝0

C．a2－4b＝0 D．x1＋x3＝4

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

13．对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．

14．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．

15．已知
(
为自然对数的底数),函数
,则
__________.

16．16.已知
满足约束条件
,则目标函数
的最大值是___________

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分）

已知函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x

(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；

(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，cosB＝，f()＝－，求b.

18.(本小题满分12分）

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：

且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

19.(本小题满分12分）

已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；

命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，

若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围.

20.(本小题满分12分）

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点.

(1)证明：PF⊥FD；

(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值.

21.(本小题满分13分）

已知数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，且点
在直线
上．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）设
，求数列
的前
项和
．

22.(本小题满分13分）

已知二次函数g(x)对任意x∈R都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1且g(1)=-1，设函数f(x)=g(x+
)+ m
+
(m∈R，x>0)．

(1)求g(x)的表达式；

(2)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围；

(3)设1

求证：对于任意x1,x2∈［1,m］，恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

高三数学（理科）练习题参考答案及评分标准

一、选择题：

1． B　[解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．

由A∪B＝A得B?A，所以有m＝3或m＝.由m＝得m＝0或1，经检验，m＝1时B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合，故选B.

2．C　[解析] 由题意z＝2＋i，所以＝＝＝i，则其共轭复数是－i，选C.

3. D

4． A[解析]由已知f(0)＝0，得loga＝0，∴k＝1，

∴f(x)＝loga(x＋)，又∵其为增函数，

∴a>1.故g(x)＝loga|x－1|的图象可由y＝loga|x|的图象向右平移一个单位得到，且在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故选A.

5. B

6．A　[解析] 本题主要考查向量的线性运算．属于基础知识、基本运算的考查．

过点F作FG∥CD交AC于G，则G是AC的中点，且＝＝，所以＝＝×

＝，则λ的值为.

7.D　[解析] 设几何体的外接球的半径为r，由(－r)2＋1＝r2得r＝，几何体的外接球的表面积为.

8．D　[解析]　函数y＝tan向右平移后得到

y＝tan＝tan.又因为y＝tan，∴令－＝＋kπ，∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为.

9． D　[解析] 由于f(x)是R的上的偶函数，当f(x)在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.

10．D[解析]由已知f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，

∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin，

又θ∈.∴≤θ＋≤，

∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2.

答案　D

11． C　[解析] 项数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为1 000，所以＝1 000，又100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为

＝100＋＝100＋990＝1 090，故选C.

12．C[解析]　作出函数f(x)的图象，令t＝f(x)，

则方程f2(x)＋af(x)＋b＝0化为t2＋at＋b＝0，

∵t＝f(x)＞0，故要使原方程有3个不同的实数解，

则需方程t2＋at＋b＝0的根，t1＝t2＝1或t1＝1，t2≤0，

故Δ＝a2－4b＝0或，故C错误．

令f(x)＝1，易得x1＝1，x2＝2，x3＝3，

所以A、B、D皆正确．

答案　C

二、填空题：

13．答案：15　

[解析] 依题意得 n2＝＝100,

∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2,

整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15.

14答案　

[解析]设x＝a与f(x)＝sin x的交点为M(a，y1)，

x＝a与g(x)＝cos x的交点为N(a，y2)，

则|MN|＝|y1－y2|＝|sin a－cos a|

＝≤.

15．答案 7;

16.答案

[解析]由
得,
.作出不等式对应的区域,
,平移直线
,由图象可知,当直线
与圆在第一象限相切时,直线
的截距最大,此时
最大.直线与圆的距离
,即
,所以目标函数
的最大值是
.

三、解答题：

17【解析】(1)∵f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x

＝cos2xcos－sin2xsin＋

＝cos2x－sin2x＋－cos2x

＝－sin2x＋，…………………………………3分

∴最小正周期T＝＝π，

令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z). …………………………………6分

(2)由(1)f(x)＝－sin2x＋得：

f()＝－sinC＋＝－，

∴sinC＝，

又cosB＝，∴sinB＝＝，

∴＝，即b＝＝＝，

故b＝. …………………………………12分

18【解析】(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则

S＝200x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，

所以当x∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.

当x＝300时，S取得最大值－5 000，

所以政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损. …………………………6分

(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：

①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，

∴当x＝120时，取得最小值240；…………………………………8分

②当x∈[144,500)时，＝x＋－200≥2－200＝200.

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.

∵200<240，

∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………………12分

19．【解析】∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，

∴x1＋x2＝m，x1·x2＝－2，∴|x1－x2|＝＝，

∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，…………………………………4分

由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，

可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1，…………………………………6分

∴命题p为真命题时a≥6或a≤－1，

若不等式ax2＋2x－1>0有解，则

①当a>0时，显然有解，②当a＝0时，ax2＋2x－1>0有解，

③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，

∴Δ＝4＋4a>0，∴－1

所以不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又∵命题q是假命题，∴a≤－1，

故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤－1. ……12分

20. 【解析】方法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，

AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).

不妨令P(