2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷

一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）

1．已知全集U
，A
，B
，那么
__．

2．函数
的定义域为 ．

3．若数列
满足：
，则前6项的和
.（用数字作答）

4. 计算：
________．

5．集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ．

6. 设
…
，则
…
＝ ．

7. 已知函数
有反函数
，且
则
．

8. 已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为
．假设从袋中任取
个球，取到的都是红球的概率为
．那么袋中的红球有 __个．

9. 已知函数
，
，则满足不等式
的实数
的取值范围是 ．

10. 已知
是
这7个数据的中位数，且
这四个数据的平均数为1，则
的最小值为 ．

11．设
>0，若函数
= sin
cos
在区间[－
，
]上单调递增，则
的范围是_____________．

12. 设正项数列
的前n项和是
,若
和
都是等差数列,且公差相等,则
=_______________.

13．函数
的图像与直线
及
轴所围成图形的面积称为函数
在
上的面积，已知函数
在
上的面积为
，则函数
在
上的面积为 ．

14．（理）函数
的定义域为
，若
且
时总有
，则称
为单函数，例如，函数
是单函数．下列命题：

①函数
是单函数；

②指数函数
是单函数；

③若
为单函数，
且
，则
；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；

⑤若
为单函数，则函数
在定义域上具有单调性。

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）

15. 命题

;命题
关于
的方程
有实数解,则
是
的 ( ).

(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

16．下列函数中，最小正周期为
的偶函数为（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

17. 定义函数
（定义域），若存在常数C，对于任意
,存在唯一的
，使得
,则称函数
在D上的“均值”为C。已知函数
，则函数
在
上的均值为 （ ）

(A)
(B)
(C) 10 (D)

18．某同学为了研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
，点
是边
上的一个动点，设
，则
．那么可推知方程
解的个数是………………………………………………………（ ）

（A）
. （B）
. （C）
. （D）
.

三、简答题 (本大题满分74分)

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

(2)若该直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
，求点A到 平面A1BC的距离．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

已知以角
为钝角的的三角形
内角
的对边分别为
、
、
，
，且
与
垂直。

（1）求角
的大小；

（2）求
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

某企业生产某种商品
吨，此时所需生产费用为（
）万元，当出售这种商品时，每吨价格为
万元，这里
（
为常数，
）

（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？

（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求
的值．

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分.

已知函数
.

（1）当
时，判断
的奇偶性，并说明理由；

（2）当
时，若
，求
的值；

（3）若
，且对任何
不等式
恒成立，求实数
的取值范围。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

已知数列
具有性质：①
为整数；②对于任意的正整数
，当
为偶数时，

；当
为奇数时，
.

（1）若
为偶数，且
成等差数列，求
的值；

（2）设
(
且
N)，数列
的前
项和为
，求证：
；

（3）若
为正整数，求证：当
(
N)时，都有
.

2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试答案

命题人：赵荣 学校：上海市朱家角中学

审题人：蒲红军 周建国 学校：三林中学 南汇一中 2013年12月

一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）

1、
2、
3、63 4、0 5、
6、
7、1 8、8

9、（0，
） 10、
11、(0，] 12、
13、
14、②③④

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）

15、B 16、A 17、D 18、 C

三、简答题 (本大题满分74分)

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.

解：（1）∵BC∥B1C1，

∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），（2分）

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，

∴∠ACB=45°，

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°。（4分）

（2）∵S△ABC=
，三棱柱ABC- A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=

∴AA1=
，A1B=
（2分）

∵CB⊥平面ABB1A1，∴∠A1BC=90°，S△A1BC=

设点A到平面A1BC的距离为h，（4分）

三棱锥A1-ABC的体积V=
×S△ABC×AA1=三棱锥A-A1BC的体积V=
×S△A1BC×h（6分）

∴h=
（8分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

解：（1）∵
垂直
，∴
（2分）

由正弦定理得
（4分）

∵
，∴
，（6分） 又∵∠B是钝角，∴∠B
（7分）

（2）
（3分）

由（1）知A∈（0，
），
, （4分）

，（6分） ∴
的取值范围是
（7分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

解：（1）设生产平均费用为y元，（1分）

由题意可知y=
;（5分）

当且仅当
时等号成立，（6分）

所以这种商品的产量应为100吨。（7分）

（2）设企业的利润为S元，有题意可知（7分）

=
（3分）

又由题意可知120
（5分）

（6分）

（7分）

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分6分.

解：（1）当
时，
既不是奇函数也不是偶函数（2分）

所以
既不是奇函数，也不是偶函数 （4分）

（2）当
时，
，

由
得
（1分）

即
（3分）

解得
（5分）

所以
或
（6分）

（3）当
时，
取任意实数，不等式
恒成立，

故只需考虑
，此时原不等式变为
（1分）

即

故

又函数
在
上单调递增，所以
；（2分）

对于函数

①当
时，在
上
单调递减，
，又
，

所以，此时
的取值范围是
（3分）

②当
，在
上，
，

当
时，
，此时要使
存在，

必须有
，此时
的取值范围是
（4分）

综上，当
时，
的取值范围是

当
时，
的取值范围是
；

当
时，
的取值范围是
（6分）

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

解：（1）∵
为偶数，∴可设
，故
，

若
为偶数，则
，由
成等差数列，可知
，

即
，解得
，故
； （2分）

若
为奇数，则
，由
成等差数列，可知
，

即
，解得
，故
；

∴
的值为0或2． （4分）

（2）∵
是奇数，∴
，

，
，依此类推，

可知
成等比数列，且有

，

又
，
，
，…

∴当
时，
；当
时，都有
． （3分）

故对于给定的
，
的最大值为

，所以
． （6分）

（3）当
为正整数时，