2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷

命题 ：赵荣 学校：上海市朱家角中学

审题：蒲红军学校：三林中学 审题：周建国 学校：南汇一中2013年12月

一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）

1．已知全集U
，A
，B
，那么
__．

2．函数
的定义域为 ．

3．若数列
满足：
，则前6项的和
.（用数字作答）

4. 计算：
________．

5．集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ．

6. 设
…
，则
…+
=　　　　　　　.　

7. 已知函数
有反函数
，且
则
．

8. 某地自行车的牌照号码由六个数字组成，号码中每个数字可以是
到
这十个数字中的任一个。那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中
恰好出现两次的概率是 _______（精确到
）.

9. 已知函数
，
，则满足不等式
的实数
的取值范围是 .

10. 在等差数列
中，中若
，
为前
项之和，且
，则
为最小时的
的值为 .

11．已知
是
这7个数据的中位数，且
这四个数据的平均数为1，则
的最小值为 .

12.设
>0，若函数
= sin
cos
在区间[－
，
]上单调递增，则
的范围是 .

13．函数
的图像与直线
及
轴所围成图形的面积称为函数
在
上的面积，已知函数
在
上的面积为
，则函数
在
上的面积为 .

14． 函数
的定义域为
，若
且
时总有
，则称
为单函数，例如，函数
是单函数．下列命题：

①函数
是单函数；

②指数函数
是单函数；

③若
为单函数，
且
，则
；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）

15. 命题

;命题
关于
的方程
有实数解,则
是
的 ( ).

(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

16．下列函数中，最小正周期为
的偶函数为（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

17. 定义函数
（定义域），若存在常数C，对于任意
,存在唯一的
，使得
,则称函数
在D上的“均值”为C。已知函数
，则函数
在
上的均值为 （ ）

(A)
(B)
(C) 10 (D)

18．某同学为了研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
，点
是边
上的一个动点，设
，则
．那么可推知方程
解的个数是………………………………………………………（ ）

（A）
. （B）
. （C）
. （D）
.

三、简答题

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

(2)若该直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
，求点A到 平面A1BC的距离．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

已知以角
为钝角的的三角形
内角
的对边分别为
、
、
，
，且
与
垂直。

（1）求角
的大小；

（2）求
的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

某企业生产某种商品
吨，此时所需生产费用为（
）万元，当出售这种商品时，每吨价格为
万元，这里
（
为常数，
）

（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？

（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求
的值．

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分.

已知函数
.

(1)当
时，指出
的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；

（2）当
时，求函数
的零点；

（3）若对任何
不等式
恒成立，求实数
的取值范围。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列
具有性质：①
为正数；②对于任意的正整数
，当
为偶数时，
；当
为奇数时，

（1）若
，求数列
的通项公式；

（2）若
成等差数列，求
的值；

(3)设
，数列
的前
项和为
，求证：

2013学年第一学期十二校联考高三数学(文)考试试卷（答案）

命题人：赵荣 学校：上海市朱家角中学

审题人：蒲红军 周建国 学校：三林中学 南汇一中 2013年12月

一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）

1、
2、
3、63 4、0 5、
6、1 7、10.0984 8、0.0984

9、（0，
） 10、12 11、
12、(0，] 13、
14、②③④

二、选择题（本大题满分20分，每题5分）

15、B 16、A 17、D 18、 C

三、简答题 (本大题满分74分)

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分.

19.解：（1）∵BC∥B1C1，

∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），（2分）

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，

∴∠ACB=45°，

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°。（4分）

（2）∵S△ABC=
，三棱柱ABC- A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=

∴AA1=
，A1B=
（2分）

∵CB⊥平面ABB1A1，∴∠A1BC=90°，S△A1BC=
（4分）

设点A到平面A1BC的距离为h，

三棱锥A1-ABC的体积V=
×S△ABC×AA1=三棱锥A-A1BC的体积V=
×S△A1BC×h

∴h=
（8分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

解：（1）∵
垂直
，∴
（2分）

由正弦定理得
（4分）

∵
，∴
，又∵∠B是钝角，∴∠B
（7分）

（2）
（3分）

由（1）知A∈（0，
），
,（4分）

，∴
的取值范围是
（7分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．

解：（1）设生产平均费用为y元，（1分）

由题意可知y=
;（5分）

当且仅当
时等号成立，（6分）

所以这种商品的产量应为100吨。（7分）

（2）设企业的利润为S元，有题意可知

=
（3分）

又由题意可知120
（5分）

（6分）

（7分）

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分6分.

解： 1）当
时，函数的单调递减区间为
（2分）

函数
既不是奇函数也不是偶函数（4分）

（2）当
，（1分）

由
得
（2分）

即
（4分）

解得
(5分)

所以
或
（6分）

（3）当
时，
取任意实数，不等式
恒成立，

故只需考虑
，此时原不等式变为
（1分）

即

故
（2分）

又函数
在
上单调递增，
（3分）

函数
在
上单调递减，在
上单调递增，（4分）

；（5分）

所以
，即实数
的取值范围是
（6分）

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）由
，可得
，
，…，
，
，
，
，…，

即
的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　（2分）

故数列
的通项公式为
．　 （4分）

（2）若
时，
，
，

由
成等差数列，可知即
，解得
，故
；(舍去)

若
时，
，
，

由
成等差数列，可知
，解得
，故
；(舍去)（ 3分 ）

若
时，
，
，

由
成等差数列，可知
，解得
，故
；

若
时，
，
，

由
成等差数列，可知
，解得
，故
；(舍去)

∴
的值为2． 　 （6分）

（3）由
（
），可得
，

，
，

若
，则
是奇数，从而
，

可得当
时，
成立． （3分）

又
，
，…

故当
时，
；当
时，
． （5分）

故对于给定的
，
的最大值为