衡阳市八中2014届高三第三次月考

文科数学

命题人：刘慧英、孙艳红 审题人：刘一坚

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、选择题：本大题共9小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 复数
化简的结果为 （ A ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则
（ D ）

A.
B.
C.
D.

3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　C　）

A．
B.
C．
D．

4．“函数
在区间（0，＋∞）上为增函数”是“a=3”的（ B ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．将函数
的图像向右平移
个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ D ）

A.
　　 B.
C.
　 D.

6．已知
的夹角为120°，则
方向上的投影为 （ A ）

A． ０ 　B．１ 　　　 C．－１ 　　　D．２

7．已知等比数列
的前
项和为
，
，则实数
的值是 ( C )

A．
B．
C．
D．

8.函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为 (　C　 )

9．已知
，把数列
的各项排列成如下的三角形状，

记
表示第
行的第
个数，则
=　（　B　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题。每小题5分，请将答案填写在答卷相应的位置上。

10.已知函数
，若
，则实数
____________17

11．若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
______.-1

12．若
的内角
、
、
满足6sinA=4sinB=3sinC,则

13.如果向量
与
共线且方向相反，则
-2

14．已知函数
是定义在R上的奇函数，且当
时不等式，
恒成立，若

，则a，b，c的大小关系（用“>”连接）是 c>a>b

15．定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“等比函数”。现有定义在
上的如下函数：

①
；②
；③
；④
，则其中是“等比函数”的
的序号为 　 ②③④

三、解答题：本大题共6个小题

16．（本小题满分12分）已知向量
＝，
＝(sin x，cos 2x)，x∈R，

设函数
　　　(1)求f (x)的最小正周期；

(2)求f(x)在
上的最大值和最小值．

16．解： f(x)＝·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin .

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.

(2)∵0≤x≤
，∴－≤2x－≤

由正弦函数的性质，

当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.

当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，

当2x－＝
，即x＝
时，f＝
，

∴f(x)的最小值为

因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是

17．（本小题满分12分）已知
.

（1）若
，求向量
与
的夹角；

（2）若
与
的夹角为
，求
的值.

解：（1）由
得

所以 向量
与
的夹角为

（2）
，

18．（本小题满分12分）公差不为零的等差数列
中，
，且
、
、
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式

（2）求
+a4+a7+…+a3n-2.

解：(1)设公差为
，则
解得

所以数列
的通项公式为

（2）{a3n-2}是以 1为首项，以6为公差的等差数列，

19．（本小题满分13分）在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式
来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线
对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数

（1）请你帮老王算出
，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；

（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

解：（1）∵C，D关于直线
对称∴C点坐标为（2×34-44，16），

即（24，16）

把A、B、C的坐标代入解析式，得

，整理得
又

将
代入1）得

于是，
段的解析式为

由对称性得，
段的解析式为

所以，由
，得

所以当
时，股票见顶.

（2）由（1）可知，
，故这次操作老王能赚5000×（25-16）=45000元．

20．（本小题满分13分）若数列
的前
项和为
，对任意正整数
都有
，记
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
求证：对任意
．

解：(1)由
，得
，解得
．

由
①，

当
时，有
②，　　

①－②得：
，　
数列
是首项
，公比
的等比数列　　　　

，　　　
．　　　　　　　　

（2）

，

，　

，

，

，

， 　　

以上
个式子相加得
，

，

，　　　　　　　　

，　　　　　　　

，　　　　　　　　　　　　　　　　　

对任意
均成立．　　　

21．（本小题满分13分）设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．

(1)若f(x)在(2，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

(2)若g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

解：(1) f(x)在(2，＋∞)上是单调减函数，则当
，f′(x)＝－a
0恒成立，

恒成立，

.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当xln a时，g′(x)>0.又g(x)在(2，＋∞)上有最小值，所以ln a>2，即a>e2.

综上，有a∈(e2，＋∞)．

（2）当
，

令f(x)=0,
，设

，令

当

当

h(x)的大致图象如图所示：

当
时无零点，
时，两个零点，
时一个零点