试卷类型：A

2014届高三月考试题二

数学

适用地区：新课标地区

考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式

建议使用时间：2013年9月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.[2013高考真题山东] 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】C　

【解析】∵x，y∈，∴x－y值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B中元素的个数是5.

2. 【2013·新课标全国卷Ⅱ】设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c＞b＞a B．b＞c＞a

C．a＞c＞b D．a＞b＞c

【答案】D【解析】 a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，

b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，

所以a>b>c，选D.

3.（理）【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A.58 B.88 C.143 D.176

【答案】B

【解析】由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝88.

（文）【2012高考真题辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（ ）

A.12 B.16 C.20 D.24

【答案】B

【解析】由等差数列的性质“m＋n＝i＋j，m，n，i，j∈N*，则am＋an＝ai＋aj”，得a4＋a8＝a2＋a10＝16.

4. 【2012高考真题山东理7】若
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】因为
，所以
.所以
.所以
.又
，所以
.又由
，得
，所以
.选D.

5. 【2012高考真题新课标理5】已知
为等比数列，
，
，则
（ ）

A.7 B.5 C.-5 D.-7

【答案】D

【解析】因为
为等比数列，所以
.又
，所以
或
.若
，解得
，此时
；若
，解得
，仍有
.综上,
.选D.

6.【2012高考山东文8】函数
的最大值与最小值之和为（ ）

A.
　　　B.0　　　C.－1　　　D.

【答案】A

【解析】因为
，所以
.则
，所以当
时，函数
的最小值为
；当
时，函数
的最大值为
，所以最大值与最小值之和为
.选A.

7.（理）（山西省太原市2012届高三模拟试题（二）数学理）下列判断错误的是（ ）

A. “
”是”
”的充分不必要条件

B.命题“
”的否定是“
”

C.若
均为假命题，则
为假命题

D.若
，则

【答案】D

【解析】A项中，
；但
不能推出
,例如：当
时，
，故A正确；B项显然正确；C项中,
均为假可以推出
为假，正确；D项中，
错误.

（文）（山西省太原市2012届高三模拟试题（二）数学文）下列判断正确的是（ ）

A. 若命题
为真命题，命题
为假命题，则命题“
”为真命题

B.命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

C. “
”是”
”的充分不必要条件

D. .命题“
”的否定是“
”

【答案】D

【解析】A项中，因为
真
假，所以
为假命题.故A项错误；B项中，“若
，则
”的否命题为“若
，则
”， 故B项错误；C项中，
是
的必要不充分条件，故C项错误；D选项正确.

8.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）函数
的零点个数为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】在同一坐标系内画出函数
和
的图象，可得交点个数为3. 故选B.

9. 【2013高考真题山东卷】 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为(　　)

【答案】D　【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.

10.（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文）在
中，若
，则
是( )

A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

【答案】D

【解析】由
，得
，得

，得
，得
,故
.故
是直角三角形.

11. (河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学文)已知函数
则满足不等式
的
的取值范围为( )

A.
B. (-3,1) C. [-3,0) D. (-3,0)

【答案】D

【解析】当
时，满足
,无解；当
时，满足
，解得
；当
时，满足
，解得
.综上可知，
的范围为
.

12. (河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学理)设不等式组
表示的平面区域为
表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则
=( )

A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001

【答案】C

【解析】因为
，所以令
,又
为整数，所以
.当x=1时，
，有3n个整数点；当x=2时，
，有2n个整数点；当x=3时，
，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以
.则数列
是以
为首项，公差为12的等差数列.故

.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上.

13. [2013·天津卷] 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．

【答案】　【解析】 由题意得＝－＝＋－＝－，＝＋，所以·＝(＋)＝2－2＋·＝1－2＋||×1×＝1，解得||＝或0(舍去)．

14. (河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学文理)在
中，
,

,则
的长度为________.

【答案】1或2

【解析】由余弦定理得
,即

,解得BC=1或BC=2.

15.[2013·广东卷] 给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．

【答案】6　【解析】由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z＝x＋y在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．

16. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学理)已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 .

【答案】

【解析】因为
，所以
.若
恒成立，则
,解得
.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）

【2012高考北京文15】已知函数
。

（1）求
的定义域及最小正周期；

（2）求
的单调递减区间。

【解】（1）由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝

＝2cosx(sinx－cosx)

＝sin2x－cos2x－1

＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

（2）函数y＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

18.（本小题满分12分）

[2013·全国卷] 等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

【解】设{an}的公差为d.

由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.

由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，

故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．

若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，

此时Sn＝0，不合题意；

若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，

解得d＝0或d＝2.

因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.

19.（本小题满分12分）

[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.

(1)求cos A的值；

(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．

【解】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得

[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，

即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，

则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.

(2)由cos A＝－，0

由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.

由题意知a>b，则A>B，故B＝.

根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，

解得c＝1或c＝－7(舍去)，

故向量在方向上的投影为||cosB＝.

20.（本小题满分12分）

（理）（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学理）已知等差数列
满足：
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若
(
)，求数列
的前n项和
.

【解】（I）设
的首项为
，公差为
，则

由
得
…………2分

解得

所以
的通项公式
…………5分

（II）由
得
. …………7分

①当
时，