试卷类型：A

2014届高三月考试题五

数学

适用地区：新课标地区

考查范围：必考全部内容（集合、简易逻辑、函数、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何、排列、组合、二项式定理、概率统计、复数，算法，推理证明）

建议使用时间：2013年12月底

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学理）已知集合
,

则
（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】A={1,2}，由
,得
，又因为
，所以
.故B={2}.则
.

2. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)若tan α＝2，则
的值为(　　)

A.0 B. C.1 D.

【答案】B

【解析】
.

3. 【湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题】 函数f(x)=2x-sinx的零点个数为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A 【解析】 因为
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增.又因为
，所以函数
只有一个零点0.

4. [2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A　[解析] ∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，

∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.

5. [2013·全国卷] 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)

A．－6(1－3－10) B.(1－310)

C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

【答案】C　[解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．

6.（理）（云南昆明一中2012届高三第二次摸底测试数学理）曲线
在点
处的切线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】
，
，则切线方程为
，即
.

（文）（云南昆明一中2012届高三第二次摸底测试数学文）曲线
在点
处的切线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】
，
，则切线方程为
，即
.

7. (2012届宁夏银川一中第二次模拟考试数学文)某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定

会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】由几何概型得，所求概率为
.

8. （理）（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学理）在二项式
的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）

A. 32 B. -32 C. 0 D. 1

【答案】C

【解析】在二项式
中，令
，得
，故展开式中各项系数的和为0.

（文）（山东省潍坊市2012届高三5月仿真模拟数学文）林管部门在每年3·12植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐

C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐

D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐

【答案】D

【解析】甲种树苗的平均高度为
，

甲种树苗的高度的方差为
；

乙种树苗的平均高度为
，

乙种树苗的高度的方差为

比较可知，乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐，选D.

9. [2013·辽宁卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S＝(　　)

A. B.

C. D.

【答案】A　[解析] 由程序框图可以得到

S＝＋＋＋

＝＋＋＋

＝1－＋－＋－＋－＝，故选A.

10. [2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为(　　)

A. B. C．200 D．240

【答案】C　[解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以其底面面积为(2＋8)×4＝20，所以体积为V＝20×10＝200.

11. 【2012高考真题新课标理10】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

【答案】D

【解析】由离心率为得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为，代入选项A、C、D，知选项D正确.

12.（理）【2012高考山东理9文10】函数
的图象大致为（ ）

【答案】D

【解析】由函数y＝为奇函数，排除选项A，当x无限大时，y趋向于0，排除选项C，当x从正数趋向于0时，y趋向于正无穷大，故选D.

（文）（海南省琼海市2012年高考模拟测试一数学理）方程
所表示的曲线的图形

是（ ）

【答案】D

【解析】由题意可得
或
，即
或
.但是要使得该方程有意义还要

满足
综上可知图象选D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.

13.（河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试数学文）设向量
的夹角为
，且
,则
.

【答案】

【解析】设
.由
，得
，所以

.

14. [2013·江苏卷] 抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．

【答案】　[解析] 由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B.

作直线l0：x＋2y＝0.

当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；

当平移直线l0至点B时，zmax＝＋2×0＝.

故x＋2y的取值范围是..

15. [2013·陕西卷] 观察下列等式：

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

……

照此规律，第n个等式可为________．

【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1　[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.

16.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）如果直线
和函数
的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆
的内部或圆上，那么
的取值范围是_______________.

【答案】

【解析】根据指数函数的性质，可知函数
恒过定点
.将点
代入
，可得
. 由于点
始终落在所给圆的内部或圆上，所以
. 由
解得
或
，这说明点
在以
和
为端点的线段上运动，所以
的取值范围是
.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）

[2013·山东卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.

(1)求a，c的值；

(2)求sin(A－B)的值．

【解】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，

又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，

解得a＝3，c＝3.

(2)在△ABC中，sin B＝＝.

由正弦定理得sin A＝＝.

因为a＝c，所以A为锐角，

所以cos A＝＝.

因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.

18.（本小题满分12分）

[2013·天津卷] 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

【解】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－，故等比数列{an}的通项公式为an＝×－n－1＝(－1)n－1·.

(2)由(1)得Sn＝1－－n＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.

19.（本小题满分12分）

（理）[2013·重庆卷] 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级

摸出红、蓝球个数

获奖金额



一等奖

3红1蓝

200元



二等奖

3红0蓝

50元



三等奖

2红1蓝

10元



其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．

【解】设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．

(1)恰好摸到1个红球的概率为

P(A1)＝＝.

(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且

P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝

·＝，

P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，

P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，

P(X＝0)＝1－－－＝.

综上知X的分布列为

X

0

10

50

200



P











从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．

（文）某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号

A1

A2

A3

A4

A5



质量指标(x, y, z)

(1,1,2)

(2,1,1)

(2,2,2)

(1,1,1)

(1,2,1)



产品编号

A6

A7

A8

A9

A10



质量指标(x, y, z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)



(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

20.（本小题满分12分）

（理）[2013·江西卷] 如图1－6所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，联结CE并延长交AD于F.

(1)求证：AD⊥平面