吕四中学2013年数学考前最后一卷

一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．若集合
，
，则
＝ ▲ ．

2．设复数
为虚数单位），z的共轭复数为
= ▲ ．

3．已知样本
的平均数是
，且
，则此样本的标准差是 ▲ ． [来源:学科网ZXXK]

4．从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程
＝1表示双曲线的概率为 ▲ ．

5．函数
的部分图象如图示，则将
的图象向右平移
个单位后，得到的图象解析式为_ ▲

已知某算法的伪代码如右，

根据伪代码，若函数
在

上有且只有两个零点，则实数

的取值范围是 ▲ ．

7.设
，当
时，
恒成立，则实数
的

取值范围为???????????? 。

8. △ABC外接圆的半径为
，圆心为
，且
，
，则
的值是 ▲ ．

9．过点
的直线将圆
分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ▲ ．

10．已知数列
的前
项和
，且
的最大值为8，则
▲ ．

11．有一个正四面体的棱长为
，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ▲ ．

12. 已知函数
，
，
，则
的最小
值等于 ▲ ．

13. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行

1



2







0.5



1











a













b













c



成等差数列，每一纵列成等比数列，则
的值为[来源:Z§xx§k.Com]

▲ ．

14．设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
．若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程
或演算步骤．

15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，cos(A－B)=
．

(Ⅰ) 求sin B的值； (Ⅱ) 求cos C的值

1
6．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是平行四边形，且
，
，
，
分别是
，
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，垂足为
，求证：
．

[来源:学科网ZXXK]

17．（本小题满分14分）

某人
年底花
万元买了一套住房，其中首付
万元，
万元采用商业贷款．贷款的月利率为
‰，按复利计算，每月等额还贷一次，
年还清，并从贷款后的次月开始还贷．

⑴这个人每月应还贷多少元？

⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房
万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数
据：
）

18．（本小题满分16分）

在直角坐标系
上取两个定点
,再取两个动点

,且
.

（Ⅰ）求直线
与
交点的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知
点
(
)是轨迹
上的定点，
是轨迹
上的两个动点，如果直

线
的斜率
与直线
的斜率
满足
，试探究直线
的斜

率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

19．（本小题满分16分）

已知数列
，其前
项和为
．

⑴若对任意的
，
组成公差为
的等差数列，且
，
，求
的值；

⑵若数列
是公比为
的等比数列，
为常数，求证：数列
为等比数列的充要条件为
．

20．（本小题满分16分）已知函数
.(
).

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若对
，有
成立，求实数
的取值
范围．

[来源:Zxxk.Com]

吕四中学2013年高考考前卷

数学Ⅰ参考答案与评分标准

一、填空题：1．
2．
3．
4．
5．

6．
7．M>7

8．3 9．
10．
11．
12．
13．16 14．

二、解答题:

15

． 16．（1）取
的中点
，连结
，
，

因为
是
的中点，所以

，
，

又因为
是
中点，所以
，

因为四边形
是平行四边形；

所以
，所以
,

所以四边
形
是平行四边形，…………4分

所以
．因为
平面
，

平面
，

所以
平面
．……………………6分

（2）因为
平面
,
平面
,

所以
，又因为
,
,

平面
，
平面
，

所以
平
面
，又
平面
，

所以
． ……………………………9分

又
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
，又
平面
，所以
，……………………12分

又
，
是
中点，所以
，……………………………………13分

又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，

又
平面
，所以
．…………………
……
……………………………14分

17．⑴设每月应还贷
元，共付款
次，则有

，…………4分

所以
（元）．………………………………6分

答：每月应还贷
元．………………………………………………………………7分

⑵卖房人共付给银行
元，

利息
（元），………………………………………………10分

缴纳差额税
（元），………………………………12分

（元）．

答：卖房人将获利约
元．………………………………………………………14分

18、

19．⑴因为
成公差为
的等差数列，

所以
，……………………………………………2分

所以
是公差为
的等差数列，且

， ……………………………4分

又因为
，所以
[来源:学,科,网]

，

所以
，所以
．…………………………
…………………6分

⑵因为
，所以
， ①

所以
， ②

②－①，得
， ③ ……………………………8分

（ⅰ）充分性：因为
，所以
，代入③式，得

，因为
，又
，

所以
，
，所以
为等比数列，……………………………………12分

（ⅱ）必要性：设

的公比为
，则由③得
，

整理得
，……………………………………………14分

此式为关于n的恒等式，若
，则左边
，右边
，矛盾；

，当且仅当
时成立，所以
．

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列
为等比数列的充要条件为
．…………………16分

20．【答案】解：（1）当
时，

=
， --------------2分

令
，解得
.

当
时，得
或
；

当
时，得
.

当
变化时，
，
的变化情况如下表：







1







+

0



0

+





单调递增


极大

单调递减

极小

单调递增