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　　武昌区2013届高三五月供题训练（文数定稿）.doc

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武昌区2013届高三年级五月供题训练

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题：

1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C

二、填空题：

11．
12．
13．274；

14．
15．
16． 0

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）f(x)＝2sinx·＋cosxsinφ－sinx

＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．

∵f(x)在x＝π处取最小值，

∴sin(π＋φ)＝－1，∴sinφ＝1，

∵0＜φ＜π，∴φ＝． ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝sin(x＋)＝cosx．

由f(A)＝，得cosA＝．

∵角A是△ABC的内角，∴A＝．

由正弦定理＝，得＝，∴sinB＝．

∵b＞a，∴B＝，或B＝．

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝；

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝．

故C＝，或C＝． ………………………………12分

18．解：（Ⅰ）m=50，n=0．25． ………………………………2分

（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A，B，则A，B互斥．

． …………………………………5分

（ⅱ）可能取值为
，则

，
，
，

，
．

的分布列是



30

























．…………………12分

19．解：（Ⅰ）设公差为
（d≠0），

由题意，知
，
．

于是

解得
．

．………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵
，

∴
．

要使数列
为递增数列，则
(
）恒成立．

∴
恒成立，

∴
恒成立，

∴
恒成立．

（ⅰ）当
为奇数时，即
恒成立，

当且仅当
时，
有最小值为1，

∴
．

（ⅱ）当
为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最大值
，

∴
．

即
，又
为非零整数，则
．

综上所述，存在
，使数列
为递增数列．…………………………………12分

20．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则

，
，
，
．

由题意，可设
．

（Ⅰ）∵
，
，

．

∴ AM⊥PN．………………………6分

（Ⅱ）设
是平面PMN的一个法向量，
，

则

即
得

令x=3，得y=1+2
，z=2-2
，

∴
．

若存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o，

则|cos<
>|=
．

化简得
．

∵△＝100-4
4
13＝-108<0，方程无解．

∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o．……………12分

21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为
．

由抛物线的定义，知P点的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线．

所以，动点P的轨迹C的方程为
． ……………………………………4分

（Ⅱ）由题意知，直线AB的方程为
．

代入
，得
．

设
，则
．

因为点
始终在以线段
为直径的圆内，

为钝角．

又
，
，

，
．

即
，

．

因此
，

．

综上，实数
的取值范围是
．

（Ⅲ）设过点
的直线方程为
，代入
，得

．设
，则
，
．

于是
．

的中点坐标为

又

．

设存在直线
满足条件，则

．

化简，得
．

所以，
对任意的
恒成立，

所以

解得
，
．

所以，当
时，存在直线
与以线段
为直径的圆始终相切．…………13分

22．解：（Ⅰ）
．

由
，得
；由
，得
．

在
单调递减；
在
单调递增．

在
取最小值
．………………………………………………4分

（Ⅱ）令
，不妨设
，

则
．

，

．

而
是增函数，

．

，所以
在
是增函数．

，即
．

．………………………………8分

（Ⅲ）先证明
．

当
时，由（Ⅱ）知不等式成立．

假设当
时，不等式成立，即

．

当
时，

．

所以，当
时，不等式成立，

．

由（Ⅰ）
在
上单调递增，因此
在
上也单调递增．

，

．

． ……………………………14分