2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷（理科） 2013.04.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集
，集合
，则
.

2．若复数
满足
（
是虚数单位），则
.

3．已知直线
的倾斜角大小是
，则
.

4．若关于
的二元一次方程组
有唯一一组解，则实数
的取值范围是 .

5．已知函数
和函数
的图像关于直线
对称，

则函数
的解析式为 .

6．已知双曲线的方程为
，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .

7．函数
的最小正周期
.

8．若
展开式中含
项的系数等于含
项系数的8倍，则正整数
.

9．执行如图所示的程序框图，若输入
的值是
，则输出
的值是 .

10．已知圆锥底面半径与球的半径都是
，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，

那么这个圆锥的母线长为
．

11．某中学在高一年级开设了
门选修课，每名学生必须参加这
门选修课中的一门，对于该年级的

甲、乙、丙
名学生，这
名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．

12．各项为正数的无穷等比数列
的前
项和为
，若
， 则其公比
的取值范围是 .

13．已知两个不相等的平面向量
，
(
)满足|
|＝2，且
与
－
的夹角为120°，

则|
|的最大值是 .

14．给出30行30列的数表
：
，其特点是每行每列都构成

等差数列，记数表主对角线上的数
按顺序构成数列
，存在正整数

使
成等差数列，试写出一组
的值 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知
，
，则
的值等于………………………（ ）

（A）
． （B）
． （C）
． （D）
．

16．已知圆
的极坐标方程为
，则“
”是“圆
与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）

（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既不充分又不必要条件．

17．若直线
经过点
，则 …………………………（ ）

（A）
． （B）
． （C）
． （D）
．

18． 已知集合
，若对于任意
，存在
，使得

成立，则称集合
是“
集合”. 给出下列4个集合：

①
②

③
④

其中所有“
集合”的序号是……………………………………………………（ ）

（A）②③ ． （B）③④ ． （C）①②④． （D）①③④．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

在棱长为
的正方体
中，
分别为
的中点．

（1）求直线
与平面
所成角的大小；

（2）求二面角
的大小．

20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

如图所示，扇形
，圆心角
的大小等于
，半径为
，在半径
上有一动点
，

过点
作平行于
的直线交弧
于点
．

（1）若
是半径
的中点，求线段
的大小；

（2）设
，求△
面积的最大值及此时
的值．

21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．

已知函数
．

（1）若
是偶函数，在定义域上
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）当
时，令
，问是否存在实数
，使
在
上是减函数，

在
上是增函数？如果存在，求出
的值；如果不存在，请说明理由．

22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知点
，
、
、
是平面直角坐标系上的三点，且
、
、
成等差数列，

公差为
，
．

（1）若
坐标为
，
，点
在直线
上时，求点
的坐标；

（2）已知圆
的方程是

，过点
的直线交圆于
两点，

是圆
上另外一点，求实数
的取值范围；

（3）若
、
、
都在抛物线
上，点
的横坐标为
，求证：线段
的垂直平分线

与
轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列
的前
项和为
，且满足
(
)，
，设
，
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）若
≥
，
，求实数
的最小值；

（3）当
时，给出一个新数列
，其中
，设这个新数列的前
项和为
，

若
可以写成
(
且
)的形式，则称
为“指数型和”．问
中的项

是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

四区联考2012学年度第二学期高三数学

参考答案及评分标准 2013.04

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
； 6．
；

7．
；8．
；9．
；10．
；11．
；12．
；13．
；14．
．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．

（1）解法一：建立坐标系如图

平面
的一个法向量为

因为

，
，

可知直线
的一个方向向量为
．

设直线
与平面
成角为
，
与
所成角为
，则

解法二：
平面
，即
为
在平面
内的射影，

故
为直线
与平面
所成角，

在
中，
,

（2）解法一：建立坐标系如图．平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为
，因为
，

所以
，令
，则

由图知二面角
为锐二面角，故其大小为
．

解法二：过
作平面
的垂线，垂足为
，
即为所求

，过
作
的垂线设垂足为
，
∽

即
在
中

所以二面角
的大小为
．

20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

解:（1）在△
中，
，

由

得
，解得
．

（2）∵
∥
，∴
，

在△
中，由正弦定理得
，即

∴
,又

．

解法一：记△
的面积为
，则
，

∴
时，
取得最大值为
.

解法二：

即
，又
即

当且仅当
时等号成立,

所以

∴
时，
取得最大值为
.

21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

解:（1）
是偶函数，
即
，

又
恒成立即

当
时

当
时，
，

当
时，
，

综上：

（2）

是偶函数，要使
在
上是减函数在
上是增函数，即
只要满足

在区间
上是增函数在
上是减函数．

令
，当
时
；
时
，由于
时，