广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试

数学试题（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

参考公式:

1.锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面面积，
为锥体的高.

2. 柱体的体积公式
，其中S为柱体的底面面积，
为柱体的高.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R，

，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）.

A．
B．

C．
D．

2. 若
，为虚数单位，且
，则
（ ）

.
.
.

.

.

3. 已知
则
（ ）

.

.

.

.

4.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图与侧视图中x的值为(　　)

.

.

.

.

5.已知, 圆
内的曲线
与
轴围成的阴影部分区域记为
（如图），随机往圆内投掷一个点
，则点
落在区域
的概率为（ ）

A.
B .
.C
D

6. 给出如下四个命题：

①若“
且
”为假命题，则
、
均为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

③“
”的否定是“
”；

④等比数列
中，首项
，则数列
是递减数列的充要条件是公比
；

其中不正确的命题个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

7. 已知函数
是R上的奇函数，若对于
，都有
，
时，
的值为　　

A.
　　　B.
　　C.1 　　D.2

8. .将高一(6)班52名学生分成A，B两组参加学校组织的义务植树活动，A组种植150棵大叶榕树苗，B组种植200棵红枫树苗．假定A，
两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时
小时，种植一棵枫树苗用时
小时.完成这次植树任务需要最短时间为（ ）

A.
　 B.
C.
D.

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9. 已知平面向量
，
，
，
，
；则
的值是 .

10. 执行右边的程序框图，若
，则输出的
.

11、设点
是双曲线
与圆
在第一象限的交点，其中
分别是双曲线的左、右焦点，若
，则双曲线的离心率为______________.

12. 已知
，使不等式
成立，则实数
的取值范围是 ．

13. .下面给出四种说法：

①设
、
、
分别表示数据
、
、
、
、
、
、
、
、
、
的平均数、中位数、众数，则
；

②在线性回归模型中，相关指数
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
越接近于1，表示回归的效果越好

③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；

④设随机变量
服从正态分布
，则
.

其中正确的说法有 （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
引圆
的一条切线，则切线长为　　　　　　．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
为圆
的直径，
为圆
上一点，

和过
的切线互相垂直，垂足为
，过
的切线交过
的切线于
，

交圆
于
，若
，
，则
= .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本题满分１２分)

的三个内角
对应的三条边长分别是
,且满足

求
的值；

若
,
，求
和
的值.

17. . (本题满分１２分)

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
与
，投中得1分，投不中得0分.

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和
的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.

18. (本题满分１４分)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

,
,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC
平面ABC；

（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值；

（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

19. (本题满分１４分)

如图，过点P（1，0）作曲线C：
的切线，切点为
，设点
在

轴上的投影是点
；又过点
作曲线
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是
；………；依此下去，得到一系列点

，设点
的横坐标为
.

（1）求直线
的方程；

（2）求数列
的通项公式；

（3）记
到直线
的距离为
，求证：
时，

20. (本题满分１４分)

已知椭圆
的左右焦点为
，抛物线C：
以F2为焦点且与椭圆相交于点
、

,点
在
轴上方，直线
与抛物线
相切.

（1）求抛物线
的方程和点
、
的坐标；

（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线
，
与
轴分别交于点
.
是以
,
为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由.

2１. (本题满分１４分)

设函数
其中

（１）若
=0，求
的单调区间；

（2）设
表示
与
两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|
|≤
．

数学试题（理科）参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现Z＊X！X！K错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

DAACA CＢC

二、填空题: 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9、
； 10、
； 11、
； 12、
；

13、①②④ 14、
； 15、
；

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 16. (本题满分１２分)

的三个内角
对应的三条边长分别是
,且满足

(1) 求角
的值；

(2) 若
,
，求
和
的值.

解：（1）因为
由正弦定理得：

…………2分

由
…………3分

所以
，
；
…………6分

（2）由
，
则
，…………8分

…………10分

由
，
…………12分

17. (本题满分１２分)

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
与
，投中得1分，投不中得0分.

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和
的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.

本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.

解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
与
相互独立，且P（A）=
，P（B）=
，P（
）=
，P（
）=
.…………1分

甲、乙两人得分之和
的可能取值为0、1、2，…………2分

…………4分

则
概率分布为：

0

1

2













…………5分

=0×
+1×
+2×
=
.…………6分

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和
的数学期望为
.…………7分

（2）设甲恰好比乙多得分为事件
，甲得分且乙得
分为事件