山西大学附中2012-2013学年高三(4月)月考

数学（理科）试卷

(考试时间：120分钟)

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．集合A=
，集合B=
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．设
则
的大小关系是 ( )

A.
 B.
 C.
 D．


3．设函数
，其中
，
，则
的展开式中
的系数为( )

A．-360 B.360 C.-60 D.60

4．已知复数
在复平面上对应点为
，则
关于直线
的对称点的复数表示是（ ）．

A.
B.
　 C.
D.

5.在实数集
上随机取一个数
，事件
=“
,
”，事件
=“

”，则
（
︱
）=（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是



A． B． C． D．

7. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

8．已知函数
是定义在
上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，
，则
的值（ ）．

A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负

9．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从
到
的最短线路有（ ）条

A．100 B．400 C．200 D．250

10．如图，
，
是双曲线
：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过
的直线
与
的左、右两支分别交于
，
两点．若 |
| : |
| : |
|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）A．
 B．
 C．2 D．


11．已知向量
满足
，其夹角为
，若对任意向量
，总有
，则
的最大值与最小值之差为（ ）A．1 B、
C、
D、

12．已知以
为周期的函数
，其中
。若方程
恰有5个实数解，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.在平面直角坐标系中，不等式

为常数
表示的平面区域的面积为8，则
的最小值为_________

14.已知函数
，其导函数记为
，则
.

15．设二次函数
的值域为
，则
的最小值为

16．给出下列四个命题：

①

②
，使得
成立；

③
为长方形，
，
，
为
的中点，在长方形
内随机取一 点，取得的点到
距离大小1的概率为
；

④在
中，若
，则
是锐角三角形，

其中正确命题的序号是

三、解答题：

17．（本题满分12分）在
中
分别为A,B,C所对的边，
且
（1）判断
的形状；

（2）若

，求
的取值范围

18．（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为
，乙组能使生物成活的概率为
，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.

（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.

（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.

（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为
，求
的期望.

19．（本小题满分12分如图，已知矩形
的边
,
,点
、
分别是边
、
的中点，沿
、
分别把三角形
和三角形
折起，使得点
和点
重合，记重合后的位置为点
。（1）求证：平面

平面
； (2)求二面角
的大小。

20．（本小题满分12分）已知点
是椭圆E：
（
）上一点，
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
是坐标原点，
轴．

（1）求椭圆
的方程；（2）设
、
是椭圆
上两个动点，

．求证：直线
的斜率为定值；

21．(本小题满分12分）已知函数
．

（1）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（3）试证明：
（
）。

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）

已知点
，参数
，点Q在曲线C：
上.

(1)求在直角坐标系中点
的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求｜PQ｜的最小值.

23．（本小题满分10分）已知函数

（1）若
.求证：
；

（2）若满足

试求实数
的取值范围

山西大学附中

2012-2013学年高三(4月)月考数学（理科）答案

1~6DADDCD 7~12AACABB

13.
14. 2 15.
16.①②④.

17.试题分析：解：（1）由题意

由正弦定理知，
在
中，

或

当
时，

则
舍

当
时，
即
为等腰三角形。

（2）在等腰三角形
，

取AC中点D，由
，得

又由，

所以，

18. （1）
. （2）
=
.

（3）由题意
的取值为0,1,2,3,4

+

故
的分布列为

0

1

2

3

4



P















19. (1)证明:

(4分)

(2)如图,建立坐标系,则

,

易知
是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为

(3) 易知
是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量

则
所以

所以二面角A-PE-C的大小为

20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=
，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：
；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
得

（x1+1，y1-
）+（x2+1，y2-
）=
（1,-
），

所以x1+x2=
-2
，y1+y2=
（2-
）
………①

又
，
，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②

以①式代入可得AB的斜率k=
为定值；

21.解：（Ⅰ）由题

故
在区间
上是减函数;

（Ⅱ）当
时，
恒成立，即
在
上恒成立，取
，则
，

再取
则

故
在
上单调递增，

而
，

故
在
上存在唯一实数根
，

故
时，
时，

故
故

以①式代入可得AB的斜率k=
为定值；

（3）由（2）知：

令
，

又

即：

22.试题分析：设点P的坐标为（x，y），则有
消去参数α，可得
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆
∵曲线C：
，即
，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于
．即|PQ|的最小值为
-1．

23.解：（Ⅰ）

...2分

.5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，
在
为单调增函数.

且

..7分

当
时，
；当
时，
；当
时，

综上所述：
..........10分