黄浦区二模（理科）数学参考答案

一、填空题

1.
2.
3.

4. 12 5. 121 6.

7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.
14.

二、选择题

15. C

16. D

17. B

18. A

三、解答题

【题目19】

【解析】⑴根据题意可得：在
中，高

∴

⑵过
作
，垂足为
，连结
，则
平面
，

∵
平面
，∴

∴在
中，
就是
与平面
所成的角

∵
，∴
，

又
是
的中点，∴
是
的中位线，

∴

在
中

∴

∴

【题目20】

【解析】⑴∵
，∴

∴
，

∵
，∴
或

∴
或

⑵根据题意可知：

∵
，∴

∴

∴
，

∴

∴最小正周期：

∵
在
上单调减

∴根据复合函数的单调性：

∴

∴
在
上单调减

【题目21】

【解析】将
代入函数可得：
，∴

⑴当
时，

∵
，∴

当
时，

∵

∴
，∴

∴当
时，有最大值为

⑵∵
在
上单调增，在
上单调减，最大值为

∴
在
和
各有一解

当
时，
，解得：

当
时，
，解得：

∴当
时，为有效时间区间

∴有效的持续时间为：
小时

【题目22】设抛物线
：
的焦点为
，经过点
的动直线交抛物线与

，
两点，且
；

⑴求抛物线的方程；

⑵若
（
为坐标原点），且点
在抛物线
上，求直线
的倾斜

角；

⑶若点
是抛物线
的准线上的一点，直线
的斜率分别为
，

求证：当
为定值时，
也为定值。

【解析】⑴根据题意可知：
，设直线
的方程为：
，则：

联立方程：
，消去
可得：
（*），

根据韦达定理可得：
，∴
，∴
：

⑵设
，则：
，由（*）式可得：

∴
，

又
，∴

∴

∵
，∴
，∴
，∴

∴直线
的斜率
，∴倾斜角为
或

⑶可以验证该定值为
，证明如下：

设
，则：
，
，

∵
，∴

∴

∴
为定值

【题目23】已知数列
具有性质：①
为整数；②对于任意的正整数
，当
为偶数时，

；当
为奇数时，
；

⑴若
为偶数，且
成等差数列，求
的值；

⑵设
（
且
），数列
的前
项和为
，

求证：
；

⑶若
为正整数，求证：当

时，都有
；

【解析】⑴设
，
，则：
，

分两种情况：
是奇数，则
，
，

若
是偶数，则
，
，

⑵当
时，

∴

⑶∵
，∴
，∴

由定义可知：

∴

∴

∴

∵
，∴
，

综上可知：当

时，都有