（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：欧阳海南 审题人：曾美暄

参考公式：

样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式

=
　　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

（本试卷共20小题，满分150分。考试用时120分钟）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.复数
则
（ ）

A．
B.
C.
D.

2. 设函数
若
，则等于（ ）

A．– 3 B．(3 C．– 1 D．(1

3.若将集合P={1,2,3,4}，Q={x
0

A. x∈P是x∈Q的必要不充分条件 B. x∈P是x∈Q的即不充分也不必要条件。

C. x∈P是x∈Q的充分必要条件 D. x∈P是x∈Q的充分不必要条件

4.已知抛物线
上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则抛物线的准线方程为（ ）

A.
B.
C. x=4 D. x=8

5.已知，满足不等式组
则目标函数
的最大值为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

6．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）

A．
B．0 C．3 D．1

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （ ）

A．2 B．1

C．
D．

8. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，mα nβ,则α∥β

C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若 m∥α，mβ,α∩β=n，则m∥n

9．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）

A．

B．

C．

D．

10. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）

A若命题
使得
,则
均有

B.命题“若
,则
“的逆否命题为:“若
则
”

C.若
为假命题,则
均为假命题

D. “
”是 “
”的充要条件

11. 已知函数
的导函数
的图像如左图所示，那么函数
的图像最有可能的是右图中的

12. 设
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，则的取值范围是（ ）

（A）
　　（B）
　　　（C）
　　　（D）

二. 填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)

13. 如图，A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m，∠ ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为 （m）

14.若单位向量，
的夹角为，满足
则
=

15.若曲线
在点P处的切线平行于直线
：
，则

以点P为圆心且与直线
相切的圆的标准方程为

16．给出下列四个命题：

①函数
（
且
）与函数
（
且
）的定义域相同；

②当
且
时，有
；

③若
表示
中的最小值．则函数
的图像关于直线
对称

④函数
有个零点

其中正确命题的序号是__ _________．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题（本题共6小题，共74分。）

17．（本小题满分12分）等比数列
中，已知
.

（1）求数列
的通项公式； （2）若
分别为等差数列
的第4项和第16项，

求数列
的通项公式及前项和
.

18．（本题满分12分） 已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求函数
的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（3）若
在
的最大值为2，求m值

19．（本小题12分）

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，求图中的值及从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数

（2）在（1）的条件下，从身高在[130 ，150]内的学生中等可能地任选两名，求至少有一名身高在[140 ，150]内的学生被选的概率

20（本小题12分）

如图，在矩形ABCD中，
,P、Q分别为线段AB、CD的中点，

（1）求证：

（2）求证：

（3）若
,求三棱锥
的体积

21. （本题12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率是
．
分别为左右焦点，点M在椭圆上且
的周长为

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
且与椭圆
交于，两点，若
，求直线
的方程.

22 （本题14分）已知函数
,

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，讨论
的单调性．

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12



答案

A

D

D

A

B

B

C

D

A

D

A

C





解：（1）设
的公比为,由已知得
，解得
.

备注：17题的第1小题5分；第2小题7分

18．（本题满分12分） 已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求函数
的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（3）若
在
的最大值为2，求m值

有
，此时的集合为
………………8分

(3)

--- 10分

当
时，f(x)取得最小值为m+1=2，

解得m=1 --- 12分

19．（本题满分12分）

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，求图中的值及从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数

（2）在（1）的条件下，从身高在[130 ，150]内的学生中等可能地任选两名，求至少有一名身高在[140 ，150]内的学生被选的概率

解：（1）由频率分布直方图得

10(0.005+0.01+0.02++0.035)=1 解得a=0.03………2分

∴
………………5分

(2) 从身高在[130 ，140]内的学生中选取的人数为

………………6分

设身高在[130 ，140]内的学生为
,身高在[140 ，150]内的学生为
，则从6人中选出两名的一切可能的结果为

………10分

由15个基本事件组成．用
表示“至少有一名身高在[140 ，150]内的学生被选”这一事件，则

事件
由9个基本事件组成，因而
．………………12分

20（本小题12分）

如图，在矩形ABCD中，
,P、Q分别为线段AB、CD的中点，

（1）求证：

（2）求证：

（3）若
,求三棱锥
的体积

V=
…………………………12分

21. （本题满分12分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率是
．
分别为左右焦点，

点M在椭圆上且
的周长为

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
且与椭圆
交于，两点，若
，求直线
的方程.

解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为

.

由已知可得
…………………3分

解得
，
.

故椭圆
的方程为
．………………………………………………………5分

（Ⅱ）由已知，若直线
的斜率不存在，则过点
的直线
的方程为
，

此时
，显然
不成立．…………………………6分

若直线
的斜率存在，则设直线
的方程为
．

则

整理得
．………………………………………………8分

由

．

设
．

故
，①
． ②………………………………9分

因为
，即
．③

①②③联立解得
． ………………………………13分

所以直线
的方程为
和
．……………14分

22 （本题满分14分）已知函数
,

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，讨论
的单调性．

解：（1）当
时，
，

则
，即切点为
……………………2分

又
，……………………4分

则曲线
在点
处的切线斜率为
，

因此，切线方程为
，即
……………………6分

（2）
，……………………7分

设
，
,则
符号相同。

①若
，
，

当
时，
上单调递增；

当
时，
上单调递减。

②若
，则
，

即
，解得
。

（ⅰ）当
时，
，
恒成立，

即
恒成立，因此
在
上单调递减；

（ⅱ）当
时，
。可列表如下：










（与
符号一致）











↘

↗

↘



综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
单调递增；

当
时，
在
上单调递减；

当
时，

在
和
上单调递减，在
上单调递增。…………14分