三峡名校联盟高2013级3月联考

数学（理科）试题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2.已知数列{ an }满足a1=
，且对任意的正整数m,n，都有am+n= am + an，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．2

3．若
是纯虚数，则
的值为( )．

A．
B．
C.
D.
或

4.若两个非零向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知某三棱锥的三视图（单位:Cm)如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A. 6cm3 B.2cm3 C.3 cm3 D.1cm3

6.若在区域
内任取一点P，则点P恰好在单位圆
内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知
， 由如右程序框图输出的
（ ）

A.
B.
C.
D.

8．设函数
的图像关于直线
对称,它的周期是
,则（ ）

A．
的图象过点
B.
在
上是减函数

C.
的一个对称中心是
ks5

uD. 将
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象

9. 点
为双曲线
：
和圆
：
的一个交点，且
，其 中
为双曲线
的两个焦点，则双曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

10. 函数
为定义在
上的减函数，函数
的图像关于点（1,0）

对称，
满足不等式
，
，
为坐标原点，则当
时，
的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．11.12.13为必答题.14.15.16为三选二.若都选.则计14.15题得分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分

11.点P是曲线
上任一点，则点P到直线
的最小距离为

.12. .在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则：
的最大值为______:

13．给出以下命题：

① 双曲线
的渐近线方程为
；

② 命题
“
，
”是真命题；

③ 已知线性回归方程为
，当变量
增加
个单位，其预报值平均增加
个单位；

④ 设随机变量
服从正态分布
，若
，则
；

⑤ 已知
，
，
，
，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
，（
）

则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．

选做题

14.曲线
与曲线
的交点间距离为

15.如图△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,
，则

16.关于
的不等式
的解集为空集，则实数
的取值范围为 __ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分13分）

如图，在△
中，
，
为
中点，
.

记锐角
．且满足
．

（1）求
；

（2）求
边上高的值．

18．（本小题满分13分）

现有长分别为
、
、
的钢管各
根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取
根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,
），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

（1）当
时,记事件
{抽取的
根钢管中恰有
根长度相等}，求
；

（2）当
时,若用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求
的分布列；

②令
，
，求实数
的取值范围．

（本小题满分13分）

如图，四边形PCBM是直角梯形，
，
∥
，
．又
，
，直线AM与直线PC所成的角为
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值.

(本小题满分12分)

已知函数

．

（1）若
为
的极值点，求实数
的值；

（2）当
时，方程
有实根，求实数
的最大值。

21．（本小题满分12分）

已知抛物线和椭圆都经过点
，它们在
轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

（1）求这两条曲线的方程；

（2）对于抛物线上任意一点
，点
都满足
，求
的取值范围．

22.（本小题满分12分）

已知正项数列
的前
项和为
，且

.

（1）求
的值及数列
的通项公式；

（2）求证：

；

（3）是否存在非零整数
，使不等式

对一切
都成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

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数学试题答案（理科）

一、1-5 CBABD 6-10 ACCBD

二、11.
12. 9/2 13. ①③⑤ 14. 2 15. 4 16.

17（1）∵
，∴
，

∵
，∴
． -----------------6分

（2）方法一、由（1）得
，

∵
， 7

∴
， ----------10分

在
中，由正弦定理得：
，

∴
， ----------12分

则高
． -----------------13分

方法二、如图，作
边上的高为

在直角△
中，由（1）可得
，

则不妨设
则
---------9分

注意到
，则
为等腰直角三角形，所以
，

则
----------11分

所以
，即
----------13分

18.解：(1)事件
为随机事件，
………………………………………4分

（2）①
可能的取值为

2

3

4

5

6

















∴
的分布列为：

……………………………………………………9分

②
………………………………11分

，

，
…………………………………………13分

19、方法1：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分

（2）取BC的中点N，连MN．∵
，∴
，∴
平面ABC．作

，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得
，∴
为二面角
的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为
，∴在
中，
．

在
中，
．

在
中，
．

在
中，
．

在
中，∵
，∴
．

故二面角
的余弦值为
．13分

方法2：（1）∵
，∴
平面ABC，∴
．5分

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设
，则
．
．

……………5分

∵
，

且
，∴
，得
，∴
．……………8分

设平面MAC的一个法向量为
，则由
得
得
∴
．……………10分

平面ABC的一个法向量为
．
．……………12分

显然，二面角
为锐二面角，∴二面角
的余弦值为
．13分

20.（1）

．……1分

因为
为
的极值点，所以
．…………………………………2分

即
，解得
． ………………………………………3分

又当
时，
，从而
的极值点成立．……………4分

（2）若
时，方程
可化为，
．

问题转化为
在
上有解，

即求函数
的值域． ……………………7分

以下给出两种求函数
值域的方法：

方法1：因为
，令
，

则
， ……………………9分

所以当
，从而
上为增函数，

当
，从而
上为减函数， …………10分

因此
．

而
，故
，

因此当
时，
取得最大值0． …………………………12分

方法2：因为
，所以
．

设
，则
．

当
时，
，所以
在
上单调递增；

当
时，
，所以
在
上单调递减；

因为
，故必有
，又
，

因此必存在实数
使得
，

，所以
上单调递减；

当
，所以
上单调递增；

当
上单调递减；

又因为
，

当
，则
，又
．

因此当
时，
取得最大值0． …………………………………………12分

21解：（1）设抛物线方程为
，将
代入方程得

-------------------2分

由题意知椭圆、双曲线的焦点为
----------------3分

对于椭圆，

，

所以椭圆方程为
----------------6分

（2）设
------------（7分）

由
得
---------------（9分）

恒成立------------------10分

则

∴
-----------12分

22. (1）由
.

当
时，
，解得
或
（舍去）． ……2分

当
时，

由

，

∵
，∴
，则
，

∴
是首项为2，公差为2的等差数列，故
． ………………4分

另法：易得
，猜想
，再用数学归纳法证明(略)．

（2）证法一：∵

，……4分

∴当
时，

.… 7分

当
时，不等式左边
显然成立. ……………… 8分

证法二：∵
，∴
.

∴