黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试

数学试题(理科)

选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

．
的值属于区间

A．
B．
C．
D．

．下列命题中，真命题是

A．
使
B．

C．
是
的充分条件 D．

．由直线
与函数
的图象围成的封闭图形的面积为

A．
B．
C．
D．

．已知复数
为复数单位)是关于
的方程
为实数)的根，则
的值为

A．22 B．36 C．38 D．42

．若直线
与曲线
相切，则实数
的值为

A．-4 B．-2 C．2 D．4

．设某大学的女生体重
（单位：
）与身高
（单位：
）具有线性关系。根据一组样本数据

，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论中不正确的是

A．
与
具有正的线性关系 B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加
，则其体重约增加

D．若该大学某女生身高为
，则可断定其体重必为

．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为

A．20 B．
C．56 D．60

．已知直线
与双曲线C：
的渐近线交于E1、E2两点，记
，任取双曲线C上的点P，若
，则

A．
　B．
　 C．
D．

．假设你家订了一份早报，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00-8：00之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率为

A．
B．
C．
D．

．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则函数
的零点个数为

A．4 B．6 C．8 D． 10

填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分)

必考题(11-14题)

．在△ABC中内角C＝60°，
，

则△ABC的面积S＝　　　　　　.

．执行如图所示的程序框图，若输入
的值为8，

输出的值为s，则
的展开式中
的系数

是 (用数字作答)

．数式
中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=
，则
，则
，取正值
，用类似方法可得
.

．设函数
数列
是公差为
的等差数列，若
，则①
　　　　　　；②
　　　　　.

(二)选考题(请考生在第15、16题中任选一题作答，如果全答，则按第15题作答结果计分)

．（选修4－1，几何证明选讲）如图，在圆O中直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF
DB＝　　　　　.

．（选修4－4，坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，曲线C1的参数方程为

（
为参数），在以O为极点，以
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为
，则C1与C2的交点个数为　　　　　.

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

．（本小题满分12分）已知向量
，函数
的两条相邻对称轴间的距离为
.

　（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

　（Ⅱ）当
时，求
的值域.

PM2.5日均值（微克/立方米）



2

8

5







3

7

1

4

3



4

4

5







6

3

8







7

9









8

6

2







9

2

5







．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等

于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标

准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微

克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微

克/立方米之间空气质量为二级；75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

　　（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

　　（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望Eξ.

．（本小题满分12分）已知数列
的前
项和
，且
的最大值为8.

　　（Ⅰ）求常数
的值，并求
；

　　（Ⅱ）对任意
，将数列
中落入区间
内的项的个数记为
，求数列
的前
项和
.

．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD

所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝
CD＝2，

点M在线段EC上且不与E、C重合.

（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；

（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦

值为
时，求三棱锥M－BDE的体积.

．（本小题满分13分）设点
，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为
.

　（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

　（Ⅱ）若直线
过点F（1,0）且绕F旋转，
与圆
相交于P、Q两点，
与轨迹C相交于R、S两点，若｜PQ｜
，求△

的面积的最大值和最小值（
为轨迹C的左焦点）.

．（本小题满分14分）已知函数

　（Ⅰ）求
的极值；

　（Ⅱ）若对任意
使得
恒成立，求实数
的取值范围；

　（Ⅲ）证明：对
，不等式
成立.

黄冈市2013年高三年级4月份质量检测

数学试题参考答案（理）

一、选择题（共50分）

1—5　BCBCA 6—10　DBDCD

二、填空题（25分）

11、 　12、70 13、2 　14、0，
　15、5　　　16、2

三、解答题（共75分）

17、（12分）（Ⅰ）

…………………………4分

由
得

单调递增区间是
…………………………………………8分

（Ⅱ）
　　
　　　

　　　即
的值域是
…………………………………12分

18、（12分）（Ⅰ）15天中空气质量达到一级的有5天，

则恰有一天空气质量达到一级的概率
………………………………4分

（Ⅱ）15天中空气质量超标的天数为5天，

　　　　

　　　
………………………………8分

分布列为

0

1

2

3
















…………………………………………12分

19、（12分）（Ⅰ）

…………………………………………………3分

　　
　　当
时，

数列
的通项公式为
…………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意有
　　

…………………………………………………9分

………………………………12分

20、（12分）（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即
……………………………4分

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得

为EC的中点，
，
到面
的距离

…………………………………………………………8分

21、（13分）（Ⅰ）设
，则

化简
　　
轨迹
的方程为
……………………4分

（Ⅱ）设
，
的距离
，

，将
代入轨迹
方程并整理得：

设
，则
，

设
，则
上递增，

，
…………………………………………………………13分

22、（14分）（Ⅰ）
，
，

，
………………………4分

（Ⅱ）

易知
，
，设

，设
，

，

，
上是增函数，

……………………………………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，

令
，

取

相加得：

…………………14分