三峡名校联盟高2013级3月联考

数学试题（文科）

第Ⅰ卷（选择题，50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2，3}，则（
A）∩B等于

A．{3} B．{l,2} C．{1,3} D．{l,2,3}

2．设数列
是等差数列，且
，则这个数列的前5项和
=

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

Ａ．
???????????? Ｂ．?


?????????

Ｃ．
??????????? Ｄ．

4. 下列关于命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为：”若
，则
”

B．“
”是“

”的充分不必要条件

C．命题“

，使得
”的否定是“

，均有
”

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

5. 函数
是

A 周期为
的奇函数 B.周期为
的偶函数

C,周期为
的奇函数 D.周期为
的偶函数

6.已知向量
，
满足|
|=2，|
|=3，|2
+
|=
，则
与
的夹角为

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

7.设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为

A.
B.
C.
D.

8.已知直线
，平面
，且
，给出四个命题： ①若
∥
，则
；②若
，则
∥
；③若
，则
∥m；④若
∥m，则
．其中真命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

9．已知点
是双曲线
和圆
的一个交点，
是双曲线的两个焦点，
，则双曲线的离心率为

A．
B。
C．2 D.

10.设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上的“凸函数”。已知
，若对任意的实数
满足
时，函数
在区间
上为“凸函数”，则
的最大值为

Ａ.4 B.3 C. 2 D.1

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．复数
的虚部为

12.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的 X的值为2，

则输出的结果是

13.对于有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x

2

4

5

6

8



y

20

40

60

70

80



 根据上表得它们的回归直线方程为
，据此模型来预 测当x=20时，y的估计值为

14．已知函数
是
上的单调递增函数，则实数
的取值

范围是

15.已知过抛物线
的焦点
且斜率为
的直线与抛物线交于
两点，且
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

16. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

在数列
中，
为常数，
，且
成公比不等于1的等比数列.

（Ⅰ）求
的值；

（
Ⅱ）设
，求数列
的前
项和

17. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图.

（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？

（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学 习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.

18. （本小题满分13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

已知函数
．

(Ⅰ) 求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知
内角
的对边分别为
，且
，
求
的值．

19. （本小题满分12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问4分，第Ⅲ问4分）

如图所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC ,
为

等边三角形，F为ED边上的中点,且
，

（Ⅰ）求证：CF∥面ABE；

（Ⅱ）求证：面ABE ⊥平面BDE；

（Ⅲ）求该几何体ABECD的体积。

20．（本小题满分12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）

已知函数
,且
。

（1）若函数
在
处的切线与
轴垂直，求
的极值。

（2）若函数
在
，求实数a的值。

21．（本小题满分12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）

如图，椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过
作与
轴垂直的直线与椭圆交于
，而与抛物线交于
两点，且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过
的直线与椭圆
相交于两点
和
，

设
为椭圆
上一点，且满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.

数学参考答案与评分标准（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

D

D

A

C

D

C

A

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.

11. 1 12. -3 13. 211.8 14.
15.3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
. ………………………………………………7分

∴
…………10分

∴

…………………………………………13分

17（Ⅰ）设污损的数据为
，则甲班抽出来的同学的平均成绩为

解得

所以这个污损的数据是

……………………6分

（Ⅱ）依据题意，甲班
分以上的有
人，编号为
，
，乙班
分以上的有
人，编号为
、
、
，从
位同学中任选
人，所有的情况列举如下：
,
,
,
,
,

,
,
,
,
共10种结果 ……………………………10分

其中两位同学不在同一班的有
,
,
,
,
,
共6种.。。。。。。。。。12

所以所求概率为
………………………………13分

19解：（1）证明：取BE的中点G，连FG∥
,AC∥
,故CF∥AG
CF∥面ABE (4分)

（2）证明：△ECD为等边三角形
CF⊥ED又CF⊥BD
CF⊥面BDE

CF∥AG

故AG⊥面BDE
面ABE ⊥平面BDE （8分）

（3）几何体ABECD是四棱锥E-ABCD,EH⊥CD
EH⊥面ABCD

（12分）

20.解:（1）
由
得

得

（5分）

（2）

综上所述，
（12分）

21． 解：

⑴焦点
,
,

⑵
即

设

得

即

.