试卷类型：A

湛江市2013年普通高考测试题（二）

数学（理科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。 用2B铅笔将答题卡试卷类型（A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位 号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

4. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

锥体的体积公式：
，其中S是底面面积，h是高.

参考数据：

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.

1.已知集合A= {x|x〉1}，B={x|x2 <4},则A∩B =

A. {x | x < 2} B. {x|-2 1} D. {x| 1 < x < 2}

2. 复数
的虚部是

A. 1 B
C.-1 D.-

3. 如果命题“
”是真命题，则

A.命题p、q均为假命题 B.命题p、q均为真命题

C.命题p、q中至少有一个是真命题 D.命题p、q中至多有一个是真命题

4. 下列函数中既是奇函数，又在（0，+)上单调递增的是

A. y = x2 B. y = x3 C. y = -x D. y = tanx

5. 运行如图的程序框图，输出的结果是

A. 510 B. 1022 C. 254 D. 256

6.函数f(x)= (x-1)cosx2在区间[0，4]上的零点个数是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. 设F1，F2是椭圆：
的左右焦点，若直线x = wa (m>1)上存在一点尸，使ΔF2PF1是底角为300的等腰三角形，则m的取值范围是

A. 1 < m < 2 B. m > 2 C. 1 < m <
D. m >

8. 某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大 值为

A.
B.
C. 4 D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一）必做题（9?13题）

9.曲线y= x3-x + 3在点（1，3)处的切线方程为_______

10.已知函数
，那么
=_______

11.不等式|x2-3x+ 1|<1的解集为______.

12.已知{an}的前n项之和为Sn，a1 =1， Sn = 2an+1，则Sn =______

13.四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有______种.（用数字作答）

(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14.(坐标系与参数方程选做题）

在直角坐标系x吵中，曲线C的参数方程是
（
为参数)，

若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是________.

15.(几何证明选讲选做题）

如图，点A、B、C都在O上，过点C的切线 交AB的延长线于点D,若AB = 5， BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_______

三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分）

某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀.

甲校：

乙校：

(1) 求表中x与y的值；

(2) 由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关？

(3) 若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取 3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数
的分布列和数学期望.（注：概率值可 用分数表示）

17.(本小题满分12分）

如图，已知平面上直线l1//l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一 定点，C到l1的距离CM = 1, C到l2的距离CN=
，ΔABC内角A、B、C所对 边分别为a、b、c，a > b ,且b.cosB = a.cosA

(1) 判断三角形ΔABC的形状；

(2)记
,求f(θ)的最大值.

18.(本小题满分14分）

如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2, AD = 3, E为CD中点，三棱 锥A1-AB1E的体积是6.

(1) 设P是棱BB1的中点，证明：CP//平面AEB1;

(2) 求AB的长；

(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.

19.(本小题满分14分）

已知a<2,
.(注：e是自然对数的底）

(1) 求f(x)的单调区间；

(2)若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[—2，0],f(x1）

20.(本小题满分14分）

已知抛物线C:y2=4x, F是抛物线的焦点，设A(x1,y1），B(x2 ,y2)是C上异于 原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T

(1) 求x1x2的值；

(2) 求T的坐标；

(3) 当点A在C上运动时，动点R满足：
，求点R的轨迹方程.

21.(本小题满分14分）

已知x轴上有一列点P1，P2 P3,…，Pn，…，当
时，点Pn是把线段Pn-1 Pn+1 作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2 , P2P3 , P3P4,…，PnPn+1的长度分别 为a1，a2，a3,…，an,其中a1=1.

(1)求an关于n的解析式；

(2 )证明：a1 + a2 + a3 + … + an < 3

(3) 设点P(n，an) {
),在这些点中是否存在两个点同时在函数
的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.