参考公式：球的体积
，其中R为球的半径。

锥体的体积公式为
，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一组数据x1，x2，…，xn的标准差
，

其中
表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．已知复数
，则
在复平面上表示的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设向量

，

，则“
”是“
”的（ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

4．已知
等于（ ）

A．—4 B．
C．
D．4

5．已知两个不同的平面
和两条不重合的直线
，

则下列四个命题正确的是（ ）

A．若∥
则∥

B．若
∥
，
∥
，则∥

C．若

，则

D．若∥
，
∥，则∥

A．6 B．4 C．3 D．2

7．执行如右图所示的程序框图，则输出
的结果是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．某几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），由图中

标出的尺寸（单位：cm），可得该几何体的体积是（ ）
．

A．
B．
C．
D．

9．若双曲线
的渐近线和圆

相切，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C．
D．

10．在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则
”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如果
，若a=3，则△ABC的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上.

（一）必做题（11~13题）

11．若实数、
满足
，则
的最小值是 .

12．过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是 .

12．在区间（0，3）上任取一数x，并在区间（x，3）上任取一数y，则事件“|x-y|
”的

概率为 .（用最简分数表示）

（二）选做题（14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分！）

14．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已

知直线的极坐标方程为
，则该直线截曲线
所得的

弦长为_ _．

15．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点P，使
，过

点作⊙O的切线，切点为
，连接
，则
_ ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知:
、
是坐标平面上的点，
是坐标原点.

（1）若点
的坐标是
，求
的值；

（2）设函数
，求
的值域．

17．（本小题满分12分）

某校研究性学习小组的一次综合测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求该小组的人数，并计算频率分布直方图中
间的矩形的高；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在
之间的概率.

18．(本小题满分14分)

已知等差数列
，公差d>0，前n项和为
，且满足
，
，

数列
的前n项和
。（1）求数列{
}的通项公式和前n项和Sn；

（2）求数列
的通项公式；（3）若
，求证：数列
的前n项和
．

19．（本小题满分14分）

如图（1），
是等腰直角三角形，
，、分别为
、
的中点，将
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰为
的中点，得到图（2）．

求证：
； （2）求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为
、
，

其中
也是抛物线
的焦点，是
与
在第一象限的交点，且
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
为椭圆上异于、的点，求证：直线
与直线
的斜率之积为定值；

（3）设为直线

上不同于点（
，0）的任意一点， 若直线
，

分别与椭圆相交于异于、的点
，证明：点在以
为直径的圆内．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（1）设曲线
在点（1，）处的切线与直线
平行，求实数的值；

（2）
时，求
的单调区间；

（3）若
时，函数
的图象总在函数
的图像的上方，求实数a的取值范围.

高三阶段性联合考试数学（文科）参考答案 2013.4.12

一、选择题：

二、填空题：

11．5 12．(x-1)2+(y-1)2=4 13.
14.
15．

三、解答题

16.【解析】：（1）由已知可得




2分

所以
.


5分

（2）
…8分

因为
，则
，…9分

所以
，…10分

所以




11分

故
的值域是
.



12分

17.【解析】：（1）设该小组人数为x，依题意可得

，
…………………3分

所以
间的人数为：

频率分布直方图中
间的矩形的高为
………………5分

（2）设“至少有一份分数在
之间”为事件A，分数在
之间的试卷编号为1，2，3，4；分数在
之间的试卷编号为a，b



6分

则从分数在
之间的试卷中任取两份的基本事件有：（1,2）（1,3）（1,4）（1, a）（1, b）（2,2）（2,3）（2,4）（2, a）（2, b）（3,4）（3, a）（3, b）（4, a）（4, b）（a, b）共15个……8分

其中事件A包括基本事件有（1, a）（1, b）（2, a）（2, b）（3, a）（3, b）（4, a）（4, b）（a, b）共9个 ………10分

故所求概率
……………………12分

18.【解析】：（1）依题意可得在等差数列
中，

解得
…………………2分

…………………3分

…………………4分

（2）由
得

当
时，
，
…………………5分

当
时，

…………………13分

…………………14分

19.【解析】： （1）

证法一：在
中，
是等腰直角
的中位线，

在四棱锥
中，
，
， ……………3分

平面
， ……5分

又
平面
,
…………6分

证法二：同证法一
…………3分

平面
， ………6分

又
平面
,
……………………7分

（2）在直角梯形
中，

,
……10分

又
垂直平分
，
……12分

三棱锥
的体积为：

………14分

20.【解析】：（1）

解法1：抛物线
的焦点
的坐标为
，准线为
，

设点的坐标为
，依据抛物线的定义，由
，得

， 解得
.

…………… 1分

∵ 点在抛物线
上，且在第一象限，

∴
，解得
. ∴点的坐标为
. ……… 2分

∵点在椭圆
上， ∴
.

又
，且
，解得
…………… 3分

∴椭圆
的方程为
. …………… 4分

解法2: 抛物线
的焦点
的坐标为
，则
为

设点的坐标为
,
.

∵
, ∴
. ① ……… 1分

∵点在抛物线
上, ∴
. ②

解①②得
,
. ∴点的坐标为
. …………… 2分

∵点在椭圆
上，

∴
又
， 且
， ……… 3分

∴椭圆
的方程为
. …………… 4分

（2）由（1）得A（－2，0），B（2，0） 设
的坐标为

则
，
且
即
…………6分

所以直线
与直线
的斜率之积为定值 …………………8分

（3）解法1：由（1）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x0，y0）

∵M点在椭圆上，∴
＝
（4－x02） ①

将①代入②，化简得
·
＝
（2－x0）

∵2－x0>0，∴
·
>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内 ……………14分

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2），

则－2

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－
＝(
－2）2＋（
）2－
[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]

＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 ③

又直线AP的方程为
，直线BP的方程为
，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴
，即
④

又点M在椭圆上，则
，即
⑤

于是将④、⑤代入③，化简后可得
－
＝

从而，点B在以MN为直径的圆内 ……………14分

21.【解析】：（1）
………4分

（2）
时
………5分

则
………6分

令
有：
；令
………7分

故
的单增区间为
；单减区间为
………8分

（3）构造
，即

则
………9分

①当
时，
成立， 则
时，
，即
在
上单增，

令
，故
………11分

②
时 ,

令
；令

即
在
上单减；在
上单增