本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．

一．选择题（共8小题，每小题5分）

1．在复平面内，复数
对应的点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2．已知集合
，
，那么

(A)
或
(B)
(C)
或
(D)

3．已知平面向量，
的夹角为60°，
，
，则

(A) 2 　　　　　　 (B)
　　　　(C)
　　　　　　 (D)

4．设等差数列
的公差
≠0，
．若
是
与
的等比中项，则

(A) 3或 -1 　　　　　 (B) 3或1 　　　 (C) 3 　　　　　　　 (D) 1

5．
的展开式中常数项是

(A) -160 　　　　　 (B) -20 　　　 (C) 20 　　　　　　(D) 160

6．已知函数
若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，则点M取自阴影部分的概率为

(A)
　(B)
(C)
　　 (D)

8．已知函数
，
(a>0)，若
，
，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

二．填空题（共6小题，每小题5分）

（一）必做题：

9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为
，则cosα= 　　　　　 ．

10.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 。

11．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 　 ，渐近线方程为 　 ．

12．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　kg；

若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

13．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

……

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 　　　　 ．

（二）选做题：

14．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
（t为参数）的距离为 　　　　 ．

15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．(本题满分12分)

在
中，角、、
所对的边分别为
，
．

（1）求角的大小；

（2）若
，求函数
的最小正周期和单调递增区间．

17. （本小题满分12分）

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；

(3)求比赛局数的分布列．

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
AD=1，CD=
．

（1）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；

（2）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（3）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

19．（本题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且
，n=1，2，3…

（1）求a1，a2；

（2）求Sn与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{
}是等差数列；

（3）求S1?S2?S3…S2011?S2012的值．

20. （本题满分14分）

在平面直角坐标系
中，动点到两点
，
的距离之和等于，设点的轨迹为曲线
，直线
过点
且与曲线
交于，两点．

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；若不存在，说明理由.

21．(本题满分14分)

已知函数
，
为函数
的导函数．

（1）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是
，求
的值；

（2）若函数
，求函数
的单调区间．

2012-2013学年度高三阶段性联合考试

数学(理科)试题 参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：

16、解：（Ⅰ）
……………………………2分

由
得
,

又A为钝角，故B为锐角

（没指出B范围扣1分） ………………5分

（Ⅱ）
……………………………7分

=

……………………………9分

所以，所求函数的最小正周期为

由

得

所以所求函数的单调递增区间为
（没写区间及指出K为整数扣1分）………12分

17解：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.………1分

记“甲以4比1获胜”为事件A，

则P(A)＝
()3·()4－3·＝.………3分

(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.

因为乙以4比2获胜的概率为P1＝

·
·＝，

乙以4比3获胜的概率为P2＝
·
·＝，

所以P(B)＝P1＋P2＝.………7分

(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7. ………8分

P(X＝4)＝
()4＝，

P(X＝5)＝
·＝，

P(X＝6)＝
·＝，

P(X＝7)＝
·＝.………11分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …………………8分

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．………11分

设
，

则
，
，∵
，

∴
， ∴
……………………12分

19. （1）解：当n=1时，由已知得
，解得

同理，可解得
……………………（4分）

（2）证明：由题设

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1

代入上式，得SnSn﹣1﹣2Sn+1=0

∴
，……………………（7分）

∴
=﹣1+

∴{
}是首项为
=﹣2，公差为﹣1的等差数列 …………………（10分）

∴
=﹣2+（n﹣1）?（﹣1）=﹣n﹣1

∴Sn=
…（12分）

（3）解：S1?S2?S3…S2011?S2012=
?
?
…?
?
=
（14分）

20．解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以
，
为焦点，长半轴长为的椭圆．……………………………………………………………………………3分

故曲线
的方程为
． …………………………………………………6分

（Ⅱ）存在△
面积的最大值. …………………………………………………7分

因为直线
过点
，可设直线
的方程为
或
（舍）．

则

整理得
．…………………………………8分

由
．

设
．

解得
，
．

则
．

因为

． ………………………11分

设
，
，
．

则
在区间
上为增函数．

所以
．

所以
，当且仅当
时取等号，即
．

所以
的最大值为
．………………………………………………………………14分

②当
时，令
，得
或
……………10分

（ⅰ）当
，即
时，

的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
；……11分

（ⅱ）当
，即
时，

，

故
在
单调递减； ……12分

（ⅲ）当
，即
时，

在
上单调递增，在
，
上单调递减 ………13分

综上所述，当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；