丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）

数学（理科）

一、选择题

1.复数z=
在复平面内对应的点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2. 设
为等比数列
的前
项和，
，则

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

3. 执行右边的程序框图，输出k的值是

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

4．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值是

(A)
(B)
(C) 1 (D)

5.已知命题p:
；

命题q:
,则下列命题为真命题的是

(A)
(B)

(C)
(D)

6. 已知
关于x的一元二次不等式
的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是

(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26

7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程
，那么正确的选项是

(A) y=f(x)是区间（0，
）上的减函数，且x+y

(B) y=f(x)是区间（1，
）上的增函数，且x+y

(C) y=f(x)是区间（1，
）上的减函数，且x+y

(D) y=f(x)是区间（1，
）上的减函数，且x+y

8．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线
总有公共点，则圆C的面积

(A) 有最大值8
(B) 有最小值2

(C) 有最小值3
(D) 有最小值4

二 填空题

9.在平面直角坐标系中，已知直线C
:
（
是参数）被圆C
:

截得的弦长为 ；

10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

11．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.若
，则⊙O的半径为 ；
.

12.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点， 则
.

13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.

14. 已知M是集合
的非空子集，且当
时，有
.记满足条件的集合M的个数为
，则
；
。

三、解答题

15. 已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的值域.

16．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;

（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；

（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求
的值.

17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；

（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值
。

18.已知函数
，
.

(Ⅰ)若曲线
在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当
，且ab=8时，求函数
的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，
)，直线
：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A，B。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列
为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：

①
；

②
.

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2k+1(
)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为
，

试证：（1）
； （2）

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）

数学（理科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

A

B

B

C

C

D



二 填空题

9.
； 10. 30； 11．
，15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1；

13.
； 14. 3，
(第一个空2分，第二个空3分)。

三、解答题

15. （本题13分）已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的值域.

解：（Ⅰ）
，………………………………………3分

最小正周期T=
, …………………………………………………………………………………4分

单调增区间
, …………………………………………………………7分

（Ⅱ）
，

， ………………………………………………………………………………10分

在
上的值域是
. ………………………………………………………13分

16．（本题14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且
，MD=2；

（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;

（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；

（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求
的值.

解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,

∴BC∥AD.

∵BC(平面AMD,AD
平面AMD,

∴BC∥平面AMD.

∵NB∥MD,

∵NB(平面AMD,MD
平面AMD,

∴NB∥平面AMD.

∵NB
BC=B,NB
平面BCN, BC
平面BCN,

∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分

∵AM
平面AMD,

∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分

(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)

（Ⅱ）

平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分

则
，
，
,
.

, ………………………………………6分

，
,

设平面MNC的法向量
,

则
，令
，则
… 7分

设AN与平面MNC所成角为
,

. ……9分

（Ⅲ）设
，
，
，

又
，

E点的坐标为
， …………………………………………………………………11分

面MDC,
，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要
，

，

，

. ………………………………………………………………………………14分

17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；

（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值
。

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分

则P（A）=
，

答：甲和乙都不获奖的概率为
. …………………………………………………………………5分

（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分

P(X=0)=
, P(X=400)=
, P(X=600)=
,

P(X=1000)=
, ……………………………………………………………………10分

∴X的分布列为

X

0

400

600

1000



P











 …………………………………11分

∴E(X)=0×
+400×
+600×
+1000×
=500(元).

答: 甲获奖的金额的均值为500(元). ……………………………………………………………13分

18. （本题13分）已知函数
，
.

(Ⅰ)若曲线
在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当
，且ab=8时，求函数
的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.

解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分

则
， …………………………………………………3分

h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，

即
,解得
或
……………………6分

(Ⅱ)记
(x)=
，则
(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),

ab=8，所以
，

(x≠-a),

,

令
，得
，或
, …………………………………………………8分

因为
，
所以
，

故当
，或
时，
，当
时，
，

函数
(x)的单调递增区间为
，

单调递减区间为
, ……………………………………………………………………10分

,

,
，

当
，即
时,

(x)在[-2,-1]单调递增,

(x)在该区间的最小值为
， ………………………………………11分

当
时,即
,

(x)在[-2,

单调递减, 在
单调递增，

(x)在该区间的最小值为

，………………………………………………12分

③当
时,即
时,

(x)在[-2,-1]单调递减,

(x)在该区间的最小值为
，………13分

综上所述，当
时，最小值为
；当
时，最小值为
；当
时，最小值为
. （不综述者不扣分）

19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过点P(2，
)，直线
：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在k的值，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3），若存在求出 k的取值范围，若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

，由题意

，解得
，
，所以椭圆C的方程为
. ……………………5分

（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),

由
得
, ……………………………………………6分

，所以
,……………7分

,

，
, …………………………………………8分

线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），

，即
，

， ………………………………………10分

，

整理得
，显然矛盾
不存在满足题意的k的值。……………………………13分

20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列
为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：

①
；

②
.

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2k+1(
)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为
，

试证：（1）
； （2）

解：（Ⅰ）数列
为三阶期待数列…………………………………………………………1分

数列
为四阶期待数列,……………………………………..…..3分(其它答案酌情给分)

（Ⅱ）设等差数列
的公差为
，

，

所以
，

即
，
………………………………………………………………………4分

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾， ……………………………………………………………5分

当d>0时,据期待数列的条件①②得：

由
得
，

…………………………7分

当d<0时，

同理可得

由
得
，

………………………8分

（Ⅲ）（1）当k=n时，显然
成立；…………………………………………………9分

当k

，

即
，

,

……………………………………………………………………11分

………………………………14分