丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）

数学（文科）

一、选择题

1. 复数z=
在复平面内对应的点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2.若集合A=
,B={-2,-1,0,1,2},则集合(
)
等于

(A) {-2,-1} (B) {-2,-1,0,1,2}

(C) {-2,-1,2} (D)

3. 设
为等比数列
的前
项和，
，则
（ ）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

4.执行右边的程序框图所得的结果是

（A）3 （B）4 （C）5 （D） 6

5. 已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则该椭圆的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

6.已知命题p:
,命题q:
,则下列命题为真命题的是

(A)
(B)

(C)
(D)

7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是

(A) 2 (B) 4 (C)
(D)

8.如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程
，那么正确的选项是

(A) y=f(x)是区间（0，
）上的减函数，且x+y

(B) y=f(x)是区间（1，
）上的增函数，且x+y

(C) y=f(x)是区间（1，
）上的减函数，且x+y

(D) y=f(x)是区间（1，
）上的减函数，且x+y

二．填空题

9. 若
，则
= 。

10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是________

11.直线x-
y+2=0被圆
截得的弦长为_________。

12．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为________。

13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点， 则
.

14. 已知实数
若方程
有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数
的取值范围是 。

三．解答题

15. 已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的值域.

16． 如图，四棱锥P-ABCD中， BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.

（Ⅰ）求证：AC⊥PD；

（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。

17． 在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。

（Ⅰ）求a能获一等奖的概率；

（Ⅱ）若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率。

18. 已知函数
，
.

(1)设函数
，且
求a,b的值；

(2)当a=2且b=4时，求函数
的单调区间，并求该函数在区间（-2，m] （
）上的最大值。

19．已知椭圆C：
（
）的右焦点为F(2,0)，且过点P(2，
).直线
过点F且交椭圆C于A、B两点。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（
），求直线
的方程.

20．

设满足以下两个条件的有穷数列
为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：

；

.

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为
，试证：
.

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）

数学（文科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

A

D

B

C

C



二．填空题

9.
； 10. 30 ； 11.
； 12． 2 ； 13． -1 ； 14.
.

三．解答题

15. （本题13分）已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的值域.

解：（Ⅰ）
， …………………………………3分

最小正周期T=
, ……………..………………………………………………………………4分

单调增区间
， ………………………………………………………7分

（Ⅱ）
，
， ……………………………10分

在
上的值域是
. ……………………………………………………13分

16． （本题13分）如图，四棱锥P-ABCD中， BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.

（Ⅰ）求证：AC⊥PD；

（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD, AC⊥CD , AC?平面ABCD ,

∴AC⊥平面PCD, ...........................4分

∵PD?平面PCD ,

∴AC⊥PD. .................................6分

（Ⅱ）线段PA上,存在点E，使BE∥平面PCD, ......7分

∵AD=3，

∴在△PAD中，存在EF//AD（E,F分别在AP,PD上），且使EF=1,

又∵ BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF,

∴四边形BCFE是平行四边形, ...................................................9分

∴BE//CF,，

∴BE∥平面PCD, ..............................................................11分

∵EF =1，AD=3，

∴
. ..............................................................13分

17．（本题13分） 在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。

（Ⅰ）求a能获一等奖的概率；

（Ⅱ）若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率。

解：（Ⅰ）设“a能获一等奖”为事件A,

事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人，能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有（a、b）、（a、c）、（a、d）、（a、e）、（a、f）、（b、c）、（b、d）、（b、e）、（b、f）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d、e）、（d、f）、（e、f）15个， ………………………………………………………4分

包含a的有5个，所以，P（A）=
,

答： a能获一等奖的概率为
. …………………………………………………………6分

（Ⅱ）设“若a、b已获一等奖，c能获奖”为事件B,

a、b已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有（c，c）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d，c）、（d、d）、（d、e）、（d、f）、（e，c）、（e、d）、（e、e）、（e、f）、（f，c）、（f、d）、（f、e）、（f、f）16个, …………………………………………………………………………………………11分

其中含有c的有7种，所以，P(B)=
,

答: 若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为
. …………………………………………………13分

18. （本题14分） 已知函数
，
.

(1)设函数
，且
求a,b的值；

(2)当a=2且b=4时，求函数
的单调区间，并讨论该函数在区间（-2，m] （
）上的最大值。

解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分

则
，………………………………………………………3分

因为
所以
解得，
或
……………………6分

(Ⅱ)记
(x)=
，则
(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a) ,

因为a=2，b=4，所以
(x≠-2), ………………………………………7分

,

令
，得
，或
, ……………………………………………………………8分

当
，或
时，
，当
时，
，

函数
的单调递增区间为
，

单调递减区间为
, …………………………………………………………………………10分

①当-2

其最大值为
(m)=
， ………………………………………………………12分

②当
≤m≤
时，
(x)在（-2，
）上单调递增，在（
，-
）上单调递减，在（
，m）上单调递增，而
(
)=
(
)=
，

(x)的最大值为
. ……………………………………………………………………………14分

19．（本题13分）已知椭圆C：
（
）的右焦点为F(2,0)，且过点(2，
).直线
过点F且交椭圆C于A、B两点。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（
），求直线
的方程.

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
，则

，解得
，
，所以椭圆C的方程为
，………………….5分

（Ⅱ）当斜率不存在时,不符合题意,………………………………………………………………6分

当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2)，A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),

由
得
, ………………………………………7分

因为
，

所以
， ………………………………………………………………………………8分

所以
，
, …………………………………………9分

因为线段AB的垂直平分线过点M(
)，

所以
，即
，所以
，

解得，
, ……………………………………………………………………………………12分

所以直线
l的方程为
或
…………………………………………13分

20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列
为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：

；

.

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某个2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为
，试证：
.

解：（Ⅰ）数列
为三阶期待数列…………………………………………………………1分

数列
为四阶期待数列,………………………………………3分(其它答案酌情给分)

（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为
，

因为
，

，

即
，
,……………………………………………………………………5分

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，

当d>0时，据期待数列的条件①②可得

, ………………………………………………6分

该数列的通项公式为

，…7分

当d<0时，同理可得

.…………………………………8分

（Ⅲ）当k=n时，显然
成立； …………………………………………………………9分

当k

， …………………………………10分

即
，……………………………………11分

………………………………………………………………………14分