陕西长安一中

2013届高三4月模拟考试

数学（理）试题

第I卷 （选择题，共50分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分．）

1．已知
，则

A．3+1 B．3 C．-3 D．0

2．“非空集合M不是P的子集”的充要条件是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．下列函数中，在区间（-l，1）内有零点且单调递增的是（ ）

A．y = sinx B．y = -x3 C．y=（
）x－1 D．y=log2（x+3）

4．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A．10 B．40

C．
D．

5．已知
，设f（x）= min{x3，
}，则由函数f（x）的图像与x轴、直线x=e所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．10 B．40 C．
D．

6．函数f（x）=3sin
x－log2x－
的零点个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F且倾斜角为60o的直l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则
（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

8．已知f（x）= sin（x+
），g（x）= cos（x－
），则下列结论中正确的是（ ）

A．函数y=f（x）·g（x）的周期为2；

B．函数y=f（x）·g（x）的最大值为l；

C．将f（x）的图象向左平移
个单位后得到g（x）的图象；

D．将f（x）的图象向右平移
个单位后得到g（x）的图象；

9．过双曲线
的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若
，则此双曲线的离心率为（ ） ’

A．
B．
C．2 D．

10．f（x）=x2－2x，g（x）= ax+2（a>0）．对x1∈[-l，2]，
∈[-l，2]，使g（x1）=f（xo）,则a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）

二、填空题（本题共5小题，每小置5分，满分25分）．

11．（1+x+x2）（x－
）6的展开式中的常数项为____ ．

12．设向量a，b满足：|a|=1，|b|=2，a·（a+b=0，则a与b的夹角是____ ．

13．已知等差数列{an}中，有
成立，类似地，在等比数列{bn}中，有 成立．

14．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x）且f（x）在[-1，0]上是增函数，给出下列四个命题：①f（x）是周期函数：②f（x）的图像关于x=l对称： ③f（x）在[l，2l上是减函数；④f（2）=f（0），其中正确命题的序号是 ．（请把正确命题的序号全部写出来）

l5．注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅计分）

A．（选修4－4坐标系与参数方程）已知圆C的圆心为（6，
），半径为5，直线
被圆截得的弦长为8，则= 。

B．（选修4－5不等式选讲）如果关于x的不等式|x-3|－|x-4|

C．（选修4－1几何证明选讲），AB为圆O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB=3，CD=l，则sin ∠APD= 。

三、解答题（本题共6小题．75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，且满足cos
=
，b+c=6，
·
=3．

（I）求a的值；

（Ⅱ）求

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=n2+ 2n．

（I）求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）数列{bn}中，b1=1，bn=ab－1（n≥2），求{bn}的通项公式．

18．（12分）在如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，E、F分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，图（3）是正三角形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．

（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

（Ⅱ）用随机变量
表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量f的分布列及数学期望．

19．（12分）如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60o，AB= EC=2，AE= BE=
．

（I）求证；平面EAB⊥平面ABCD。

（Ⅱ）求二面角E－AD－C的余弦值．

20．（13分）在平面直角坐标系中，点P到两点（0，-
，（0，
）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点（0，
）作两条互相垂直的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B和C．D．求四边形ABCD面积的取值范围．

21．（14分）已知函数f（x）=lnx－px+l．

（I）求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）若对任意的x>0，恒有（x）0．求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：
。