2013年高三教学测试（二）

文科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B； 2．A； 3．C； 4．A； 5．B；

6．D； 7．C； 8．A； 9．D； 10．D．

第10题提示：因为
，当且仅当
时取等号．又因为
．令
，所以
在
单调递减，所以
．此时
．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．13； 12．2013； 13．
； 14．5；

15．
； 16．4； 17．
．

第17题提示：设
，则
，
…①

…② 由①②得
，

将
代入，得
．由
，得到
．

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）

18．（本题满分14分）

在△
中，角
所对的边分别为
，满足
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求
的取值范围．

解：（Ⅰ）

，化简得
， …4分

所以
，
． …7分

（Ⅱ）


． …11分

因为
，
，所以
．

故，
的取值范围是
． …14分

19．（本题满分14分）

已知数列
中，
，
．

（Ⅰ）记
，求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

解：（Ⅰ）由
，可知
．

因为
，所以
， …4分

又
，

所以数列
是以3为首项，以3为公比的等比数列． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，所以
．

所以
…9分

其中

记
①

②

两式相减得
…13分

所以
…14分

20．（本题满分15分）

如图，在△
中，
，
，点在
上，
交
于，
交
于．沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
；沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的正切值．

解：（Ⅰ）因为
，
平面
，所以
平面
．

因为平面
平面
，且
，所以
平面
． …2分

同理，
平面
，所以
，从而
平面
． …4分

所以平面
平面
，从而
平面
． …6分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
，
，
，
． …8分

过E作
，垂足为M，连结
．

由（Ⅰ）知
，可得
，

所以
，所以
．

所以
即为所求二面角
的平面角，可记为． …12分

在Rt△
中，求得
，

所以
． …15分

21．（本题满分15分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在
上有极值，求的取值范围．

解：（Ⅰ）若
，则
．

． …2分

当
时，
；当
时，
． …4分

所以函数有极小值
，无极大值． …6分

（II）
．

记
．

若
在
上有极值，则
有两个不等根且在
上有根． …8分

由
得
，

所以
． …10分

因为
，所以
． …14分

经检验当
时，方程
无重根．

故函数
在
上有极值时的取值范围为
． …15分

22．（本题满分14分）

如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上．

（Ⅰ）求抛物线
的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过抛物线
上的动点作抛物线
的两条切线
、
， 切点为
、．若
、
的斜率乘积为，且
，求
的取值范围．

解：（Ⅰ）
的焦点为
， …2分

所以
，
． …4分

故
的方程为
，其准线方程为
． …6分

（Ⅱ）任取点
，设过点P的
的切线方程为
．

由
，得
．

由
，化简得
， …9分

记
斜率分别为
，则
，

因为
，所以
…12分

所以
，

所以
． …14分