‘


2013年高三教学测试（二）

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B； 2．B； 3．C； 4．A； 5．D；

6．A； 7．B； 8．D； 9．C； 10．A．

第9题提示：动直线的轨迹是以点为顶点、以平行于的直线为轴的两个圆锥面，而点
的轨迹就是这两个圆锥面与平面的交线．

第10题提示：数列
共有
项，它们的乘积为
．经过
次变换，产生了有
项的一个新数列，它们的乘积也为
．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是
，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为
，乘积均为
，故答案为
．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．81； 12．5； 13．
； 14．22；

15．
； 16．①③； 17．
．

第17题提示：设
，则
，
…①

…② 由①②得
，

将
代入，得
．由
，得到
．

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）

18．（本题满分14分）

在△
中，角
所对的边分别为
，满足
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求
的取值范围．

解：（Ⅰ）

，化简得
， …4分

所以
，
． …7分

（Ⅱ）


． …11分

因为
，
，所以
．

故，
的取值范围是
． …14分

19．（本题满分14分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知
．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列及其数学期望．

解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则
， …4分

即
，解得
． …7分

（Ⅱ）随机变量
的分布列如下： …11分

0

1

2

3

















． …14分

20．（本题满分15分）

如图，在△
中，
，
，点在
上，
交
于，
交
于．沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
；沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
．

（Ⅱ）设
，当为何值时，二面角
的大小为
？

解：（Ⅰ）因为
，
平面
，所以
平面
． …2分

因为平面
平面
，且
，所以
平面
．

同理，
平面
，所以
，从而
平面
． …4分

所以平面
平面
，从而
平面
． …6分

（Ⅱ）以C为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，过C且垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图． …7分

则
，
，

，
．

，

，

．

平面
的一个法向量
， …9分

平面
的一个法向量
． …11分

由
， …13分

化简得
，解得
． …15分

21．（本题满分15分）

如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上，点是抛物线
上的动点．

（Ⅰ）求抛物线
的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线
的两条切线，
、分别为两个切点，设点到直线
的距离为，求的最小值．

解：（Ⅰ）
的焦点为
， …2分

所以
，
． …4分

故
的方程为
，其准线方程为
． …6分

（Ⅱ）设
，
，
，

则
的方程：
，

所以
，即
．

同理，
：
，
． …8分

的方程：
，

即
．

由
，得
，
． …10分

所以直线
的方程为
． …12分

于是
．

令
，则
（当
时取等号）．

所以，的最小值为
． …15分

22．（本题满分14分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值点；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求的取值范围．

（为自然对数的底数）

解：（Ⅰ）若
，则
，
．

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减． …2分

又因为
，
，所以

当
时，
；当
时，
；

当
时，
；当
时，
． …4分

故
的极小值点为1和，极大值点为
． …6分

（Ⅱ）不等式
，

整理为
．…（*）

设
，

则
（
）

． …8分

①当
时，

，又
，所以，

当
时，
，
递增；

当
时，
，
递减．

从而
．

故，
恒成立． …11分

②当
时，

．

令
，解得
，则当
时，
；

再令
，解得
，则当
时，
．

取
，则当
时，
．

所以，当
时，
，即
．

这与“
恒成立”矛盾．

综上所述，
． …14分