山东省聊城市某重点高中2013届高三下学期3月模拟训练

数学（理）试题

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。

第I卷（选择题）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

一、选择题

1．设全集U=R，A=
，B= {x|y=lg(1+x)},则下图中阴影部分表示的集合为

A. {x｜-3

C. {x｜-3 ≤x <0} D. {x｜x <－3}

2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 1 B.
C.
D.

3．算法如图，若输入m=210,n= 117，则输出的n为

A.2 B.3 C.7 D.11

4．函数
(其中A>0,
)的图象如图所示，为了得到g(x =cos2x的图象,则只需将f(x)的图象

A.向右平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D.向左平移
个单位长度

5．若实数
，
满足条件
则
的最大值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6．函数
的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象( )

A．向右平移
个单位长度

B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度

D．向左平移
个单位长度

7．三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．若函数
的图象上任意点处切线的倾斜角为
，则
的最小值是( )

A．
B．
C．
D．

9．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数
、
和中位数
进行比较，下面结论正确的是

A．
B．

C．
D．

10．函数
的图象是



A． B． C． D．

11．下列命题中错误的是

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．对命题
：
，使得
，则
则

C．已知命题p和q，若
q为假命题，则命题p与q中必一真一假

D．若
、
，则“
”是“
”成立的充要条件

12．实数
，
满足条件
，则目标函数
的最大值为

A．7 B．8 C．10 D．11

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．如图，在平行四边ABCD中，
,
,若将其沿BD折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的体积为_______.

14．已知四面体
的外接球的球心
在
上，且
平面
，
， 若四面体
的体积为
，则该球的体积为___________；

15．如图，由曲线
，直线
与
轴围成的阴影部分 的面积是

_____________；

16．已知双曲线
(a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 ．

三、解答题

17．某大学体育学院在2012年新招的大一学生中，随机抽取了 40名男生， 他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195，200) .得到的频率分布直方图（局部）如图所示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.

(I)求第四组的频率并补布直方图；

(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和 “非预备生”中选出5人,再从这5人中 随机选2人,那么至少有1人是“预备 生”的概率是多少？

(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ名学生接受 测试,试求ζ的分布列和数学期望.

18．如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC =2AC=8,AB =

(I )证明：平面PBC丄平面PAC

(II)若PD =
,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

19．设函数f(x)=|x-1| +|x-a|,
.

(I)当a =4时,求不等式
的解集；

(II)若
对
恒成立,求a的取值范围.

20．如图，正方形
与梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
,
,点
在线段
上．

（I）当点
为
中点时，求证：
∥平面
；

（II）当平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．

21．已知
．

(1) 求函数
在
上的最小值；

(2) 对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；

(3) 证明：对一切
，都有
成立．

22．已知四棱锥
的底面
是等腰梯形，
且

分别是
的中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

理科数学参考答案

1．D2．B3．B4．D5．A6．D7．A8．D9．B10．B11．C12．C

13．

14．

15．3

16．

17．(I) 第四组的频率为0.2 (II)

(III) 分布列为:

0

1

2















18．(I) 通过证明AC⊥BC，进而证明BC⊥平面PAC，从而得证；

(II)

19．(I)
或
(II)

20．（I）建立空间直角坐标系，证明
，进而得证；（II）

21．（1）
（2）
（3）构造函数，利用导数证明

22．（1）利用线面垂直证明线线垂直；（2）