2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

理科数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 集合
，
，则

A．

B．

C．

D．



2．设Sn是公差为
的无穷等差数列
的前n项和，则“d < 0”是“数列
有最大项”的

A．充要条件

B．充分不必要条件



C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件



3．ΔABC中，
，
，若
，则角C为

A．

B．

C．

D．



4．已知
，则
展开式中的常数项为

A．20

B．-20

C．-15

D．15



5．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

A．

B．

C．

D．



6．已知函数
，其图象相邻的两条对称轴方程为
与
，则

A．
的最小正周期为
，且在
上为单调递增函数

B．
的最小正周期为
，且在
上为单调递减函数

C．
的最小正周期为
，且在
上为单调递增函数

D．
的最小正周期为
，且在
上为单调递减函数

7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的

外接球半径为

A．

B．



C．

D．



8．过抛物线
的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若
，
，则抛物线的方程为

A．

B．

C．

D．



9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为

A．

B．



C．

D．



10．在平行四边形ABCD中，
，
，

连接CE、DF相交于点M，若
，则实数

λ与μ的乘积为

A．

B．

C．

D．



11．已知函数
的两个极值点分别为x1，x2，且
，
，记分别以m，n为横、纵坐标的点
表示的平面区域为D，若函数
的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

A．

B．

C．

D．



12．设点P在曲线
上，点Q在曲线
上，则
的最小值为

A．

B．

C．

D．



第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。）

13．若复数
，则
__________。

14．已知双曲线
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为

P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。

15．已知平面区域Ω=
，直线l:
和曲线C:
有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为
，若
，则实数m的取值范围是__________。

16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知正项数列满足
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和Tn。

18．（本小题满分12分）

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，… ，第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为PC，CD的中点，DE = EC。

（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；

（2）设PA = a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角
，求a的取值范围。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
过点
，离心率
，若点
在椭圆C上，则点
称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。

21．（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）若函数满足
，且在定义域内
恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数
在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当
时，试比较
与
的大小。

选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC。

（1）求证：CE·EB = EF·EP；

（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为
，圆C的圆心是
，半径为
。

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）求直线l被圆C所截得的弦长。

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

设函数
。

（1）解不等式
；

（2）已知关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

B

C

C

D

C

B

B

D



二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. (Ⅰ)整理得
……………………………… 4分

又
得
……………………………… 6分

(Ⅱ)由（1）知
…………………………… 8分

所以
…………………………………… 12分

18. 解: (Ⅰ) 第六组
···························2分

第七组
···························4分

估计人数为
··························6分

(Ⅱ)
可能的取值为0,1, 2, 3. ························7分

所以
的分布列

0

1

2

3

















·············10分

=
. ····················· 12分

19.(Ⅰ)



，
分别为
的中点，

为矩形，
················· 2分

,又

面
,
面
,

平面
⊥平面
····················· 4分

(Ⅱ)
,又
，

又
,所以
面
,
··················6分

法一：建系
为
轴，
为
轴，
为
轴,

，
,

平面
法向量
，平面
法向量
··········9分

，可得
. ·············12分

法二：连
交
于点
,四边形
为平行四边形，所以
为
的中点，连
,

则
,
面
,
,

作
于
点，所以
面
,

连
,则
,
即为所求 ············· 9分

在
中，
,

解得
·············12 分

(Ⅰ)由已知
解得
，
，方程为
·······3 分

(Ⅱ) 设
，则

（1）当直线
的斜率存在时，设方程为

联立得：

有
①

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得：
·

整理得：
②

将①式代入②式得：
, ··········· 6 分

又点
到直线
的距离

·········· 8 分

所以
·········· 10 分

(2) 当直线
的斜率不存在时，设方程为
（
）

联立椭圆方程得：

代入
得到
即
，

综上：
的面积是定值

又
的面积
，所以二者相等. ·······12分

(Ⅰ) 由原式
， ················ 1分

令
，可得
在
上递减，

在
上递增，所以

即
···············3分

（Ⅱ）

，
，

时，函数
在
单调递增 ···············5分

，

，

，

，
必有极值，在定义域上不单调··············8分

················9分

（Ⅲ）由(I)知
在(0,1)上单调递减

∴
时，
即
················ 10分

而
时，

··············· 12分

22.（I）∵
，∴
，

又∵
，∴
，∴
∽

∴
又∵
，∴
···5分

（II）
，
，

是⊙
的切线，
，
·······10分

23.（Ⅰ）圆
的极坐标方程为：
·········5 分

（Ⅱ）圆心到直线距离为
，圆半径为
，所以弦长为
··········· 10分

24.（Ⅰ）
的解集为：
·········· 5分

（Ⅱ）
·········· 10 分